En casa: Continuidad de funciones definidas a trozos (6)
En esta página vamos a estudiar la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos dependiendo de un parámetro p.
Se trata de un ejercicio semejante al anterior. Ahora uno de los trozos es una función afín y el otro es una parábola:
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Una de las funciones es afín y la otra es quadrática.
Estas funciones son particularmente sencillas pues tienen dos trozos definidos usando funciones polinómicas.
Lo primero es fijarse en el dominio de estas funciones
En la siguiente animación podemos ver cómo cambian las funciones según varía el valor del parámetro p:
¿Cómo describirías lo que ocurre en el caso p=0?
Nos preguntan estudiar la continuidad de esta familia de funciones dependiendo del parámetro p.
En estas circunstancias sencillas pero habituales en las que:
- El dominio de la función está formado por todos los números reales.
- Cada uno de los trozos es una función continua en un entorno abierto
Sólamente se dan dos casos:
Siendo a el valor de x para el que se 'unen' los dos subdominios correspondientes a los trozos de definición.
Para completar el ejercicio nos falta concretar los valores de p para cada uno de esos casos.
Es decir, tenemos que hacer una partición de los números reales en dos subconjuntos.
Vemos que lo habitual es que esos dos subconjuntos sean muy diferentes en tamaño: uno estará compuesto por casi todos los números reales menos uno, dos o unos pocos. El otro suele ser el conjunto discreto complementario al que pertenecen solo uno, dos o unos pocos números.
Una nota: si nos preguntan estudiar la continuidad de una función es más correcto contestar algo como 'la función ES continua en ...' que contestar algo como 'la función tiene una discontinuidad en ....'
Ahora se trata de contestar a esta pregunta correctamente y con una buena argumentación.
Destacaremos tres niveles de calidad de la respuesta:
NIVEL -1
Nivel muy muy básico, sin dar ningún argumento. Miramos la animación y podemos imaginar que la respuesta correcta es:
NIVEL 0
Aplico las tres pruebas o tests que tiene que pasar la función para el valor x=0.
Estudio del concepto de continuidad de una función desde un punto de vista intuitivo. Algunos tipos de discontinuidades.
Pero en la prueba 2, la que es un poco más complicada, NO uso la terminología de límites y límites laterales. Pero hago unas cuentas que me dan la solución.
NIVEL 1
Especificamos las tres pruebas y en la segunda uso el lenguage de los límites laterales. Compruebo que los límites laterales no coinciden y puedo afirmar que el límite planteado no existe en todos los casos con alguna excepción.
Concluimos, con un razonamiento correcto y completo, que:
La discontinuidad que se produce es una discontinuidad de salto.
Una discontinuidad de salto se produce cuando existen los límites laterales (y, por lo tanto, son números reales) pero son distintos.
¿Te animas a resolver este problema?
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Solución de Irene, desde Alcalá de Henares.
Solución de María P.
¿Qué podemos decir de la derivabilidad de estas funciones?
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