En casa: actividades matemáticas no tan fáciles
Las siguientes actividades están pensadas para alumnos de Bachillerato o último curso de Educación Secundaria. En esta sección encontrarás actividades clasificadas en los siguientes niveles: Páginas básicas de este nivel. Para alumnos más mayores, de 4º o Bachillerato. Algunos temás específicos para Bachillerato de Ciencias. Estos días que no podemos salir de casa, ¿por qué no dar una vuelta por ahí, haciendo Turismo matemático?. Es el blog de Ángel Requena que aúna Matemáticas, Arte e Historia. Funciones polinómicas
En esta sección estudiaremos funciones polinómicas. En cada página hay alguna aplicación interactiva. Empezamos con las funciones que llamamos funciones afines. Su representación es una recta. Un concepto fundamental es el de pendiente. Son funciones polinómicas de grado 0 (funciones constantes que se representan por rectas horizontales) y de grado 1 (rectas con pendiente no nula) Dos conceptos intesantes que se estudian en esta página son el de punto de corte con el eje OY y el punto de corte con el eje OX.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Ahora veremos las funciones polinómicas de grado 2. Su gráfica es una parábola. Dos elementos importantes son el vértice y el eje de simetría. Los puntos de corte con el eje OX (si los hay) se corresponden con las raíces reales del polinomio.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Estudiamos una familia de funciones polinómicas de grado 2 dependientes de un parámetro. Estudio de sus raíces y clasificación.
Estudio y clasificación de una familia polinómica de grado 2 que depende de un parámetro. Sus dos raíces pueden ser las dos reales y distintas, una raíz real doble o dos raíces complejas conjugadas.
Profundizamos en el estudio de la familia de funciones polinómicas de grado 2 como una función de variable compleja.
Estamos en casa: Una familia de funciones polinómicas que depende de un parámetro. Raíces complejas.
Estudio de las raíces reales o complejas de una familia polinómica de grado 2 que depende de un parámetro. Representación gráfica en el plano complejo.
El siguiente paso es ver las funciones polinómicas de grado 3 o funciones cúbicas. Estas funciones siempre tienen un punto de corte con el eje OX, por lo menos. Pueden tener tres. Estos puntos se corresponden con las raíces reales del polinomio. En el siguiente enlace se estudian características interesantes de estas funciones. Puedes cambiar su forma modificando los puntos de la aplicación.
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
En la siguiente página se estudian funciones polinómicas de grados mayores. En la aplicación interactiva podrás añadir o quitar puntos (con lo que, en general, modificas el grado del polinomio) y ver diferentes formas de estas funciones polinómicas. Las funciones polinómicas son relativamente sencillas y, a a la vez, fundamentales para las Matemáticas, la Ciencia y la Técnica. Estas funciones crecen y decrecen, tienen cumbres (que llamamos máximos locales o relativos) y valles (mínimos). Sigue siendo importante encontrar los puntos de corte con el eje OX, los ceros de la función. Si el grado es mayor que 4 esto ya es mucho más complicado y sólo se puede hacer, en general, por aproximación. Esto se debe a que no hay ni puede haber una fórmula explícita para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que 4. Este es un resultado muy importante.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Familias de funciones con parámetro
En esta sección estudiaremos familias de funciones polinómicas que dependen de un parámetro. En cada página hay un vídeo y se trata de averiguar la fórmula de estas familias de funciones. Funciones racionales
En esta sección estudiaremos funciones racionales. En cada página hay alguna aplicación interactiva pero para poder verlas hay que tener Flash Player instalado en el navegador. Es decir, es más fácil verlas en un ordenador que en un móvil o tablet. Las funciones racionales son aquellas que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. En el denominador tiene que haber un polinomio de grado 1 o mayor. Si hay un número se trataría de una función polinómica. Las funciones racionales más sencillas son las que tienen en el nomerador un polinomio de grado de grado 1 o 0 (un número, en este caso) y en el denominador tienen un polinomio de grado 1.
Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
Cuando el denominador de la función tiene grado 2 aumenta la variedad de las funciones racionales. Para interactuar con las aplicaciones se necesita un navegador con el Flash. Es decir, un ordenador y no un móvil.
Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).
Exploramos algunas funciones racionales con asíntota oblicua. Para interactuar con las aplicaciones se necesita un navegador con el Flash. Es decir, un ordenador y no un móvil.
Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.
Continuidad
El esta sección trataremos el tema de la continuidad de funciones desde un punto de vista intuitivo. Veremos cómo contestar la cuestión de la continuidad de una función y estudiaremos algunos tipos de discontinuidades. En la mayoría de los casos nos referiremos a funciones polinómicas o racionales. Los casos más sencillos. Ideas básicas sobre continuidad desde un punto de vista intuitivo. Continuidad de familias de funciones definidas a trozos que depeden de un parámetro. Discontinuidades de salto.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Las dos funciones que definen los trozos son afines.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Las dos funciones que definen los trozos son afines.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Las dos funciones que definen los trozos son afines.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Las dos funciones que definen los trozos son afines.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Una de las funciones es afín y la otra es quadrática.
Estudio de la continuidad de una familia de funciones definidas a trozos que dependen de un parámetro. Discontinuides de salto. Una de las funciones es afín y la otra es quadrática.
Familias de funciones racionales con parámetro
En esta sección estudiaremos familias de funciones racionales que dependen de un parámetro. En cada página hay un vídeo y se trata de averiguar la fórmula de estas familias de funciones, estudiar su dominio, continuidad y discontinuidades.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Probabilidad
El objetivo es familiarizarnos con dos distribuciones de probabilidad, la binomial y la normal.
La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.
Las distribucines normales fueron estudiadas por Gauss. Son variables aleatorias continuas (la variable puede tomar cualquier valor real). La función de densidad tiene forma de campana.
Una propiedad importante de las distribuciones normales es que si consideramos intervalos centrados en la media y con una longitud proporcional a la desviación típica, la probabilidad de estos intervalos es constante independientemente de la distribución normal considerada.
Algunos ejercicios complementarios.
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