Después de estudiar las funciones racionales lineales vamos a considerar funciones que tienen un
denominador que es un polinomio de grado 2 (la gráfica del denominador es una parábola).
El caso más sencillo es cuando el numerador es una constante y el denominador un polinomio de grado 2.
Este tipo de funciones racionales puede tener dos asíntotas verticales:
Puede tener sólo una asíntota vertical:
O ninguna asíntota vertical. Esto depende de las raíces del denominador (y, veremos que también está relacionado con las raíces del numerador de alguna manera)
La función no está definida para las raíces del denominador, los valores que hacen cero el denominador pues no podemos dividir entre cero.
Estos valores se llaman las singularidades de la función.
Es interesante estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de las singularidades.
En algunos casos, tal como ya hemos visto, dependiendo del
comportamiento en las proximidades de la singularidad decimos que la función tiene una asíntota vertical.
En general, si x0 y x1 son dos raíces del denominador
Entonces el dominio de la función racional es:
Si consideramos el caso extremo en el que el numerador es igual a 0, la función racional es la recta horizontal y=0
pero con dos agujeros, un solo agujero y la recta continua sin agujeros (depende del denominador).
Este tipo de funciones que estamos estudiando siempre tienen una asíntota horizontal (y=0).
Ahora vamos a considerar funciones racionales que tienen en el numerador un polinomio de grado 1
(la gráfica del numerador es una recta no horizontal):
En el siguiente mathlet podemos jugar con estos dos elementos de este tipo de funciones racionales: una recta (el numerador, en azul) y
una parábola (el denominador, en naranja):
Como antes, estas funciones racionales pueden tener dos, una o ninguna singularidad.
El comportamiento en las proximidades de las posibles singularidades (si se 'hace más o menos infinito') depende del punto en el que
la recta corta al eje de abcisas:
Cuando la función tiene dos singularidades y el numerador corta al eje de abcisas in uno de esos puntos, entonces en esta singularidad
no tenemos una asíntota sino un 'agujero'. Decimos que esta singularidad es una singularidad evitable.
Por ejemplo, la fórmula correspondiente a la gráfica anterior es:
Nos fijamos en que el numerador y el denominador tienen (x-1) como factor común.
Otro caso diferente es cuando la función tiene una singularidad pero de grado 2
(la parábola solo toca el eje de abcisas, el polinomio de grado del denominador tiene una raíz doble) y el
numerador tiene la misma raíz, entonces tenemos una asíntota.
Por ejemplo, la fórmula correspondiente a la gráfica anterior es:
Podemos ver que en algunos casos la gráfica de la función corta a la asíntota horizontal y = 0:
Podemos sumar una constante p a una función racional que tenga un denominador de grado 2:
En el siguiente mathlet podemos jugar con los tres elementos de este tipo de funciones racionales:
un número p (en verde, una recta horizontal), el numerador (una recta, en azul) y el denominador (una parábola, en naranaja):
Este tipo de funciones racionales tiene una asíntota horizontal:
Cuando decimos que una función racional con un polinomio de grado 2 en el denominador puede tener dos, una o ninguna singularidad
estamos pensandos en singularidades reales. Si consideramos estas funciones en el plano complejo entonces
estas funciones tienen siempre dos singularidades (reales o) complejas.
(Esto es una consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra, probado por Gauss).
REFERENCIAS
G.E. Shilov, Calculus of Rational Functions, Mir Publishers, Moscow.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, Functions and Graphs, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.
Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.
Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Representación de una familia de funciones racionales que dependen de un parámetro. Se estudia su dominio, continuidad, asíntotas verticales y discontinuidades evitables.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
SIGUIENTE
ANTERIOR
