Al considerar una función polinómica general de grado n en el plano complejo siempre tiene n raíces, por el Teorema fundamental del Álgebra.
Empezamos viendo la representación del polinomio cuyas ceros son las raíces n-ésimas de la unidad.
para el caso particular n= 5. En este caso hablamos de las raíces quíntuples de la unidad:
Al modificar la posición de los ceros o raíces se representa la función polinómica general de grado n.
Podemos modificar el grado el polinomio y mover los ceros del polinomio. Estos ceros pueden estar repetidos y entonces decimos que tienen
multiplicidad doble, triple, etc.
La multiplicidad del cero se representa con el número de veces que el ciclo de colores (rojo->verde->azul) aparece en torno al punto.
En este ejemplo vemos la representación de una función polinómica de grado 5 con una raíz simple y dos dobles:
Esta es una representación de una función polinómica de grado 6 con una raíz simple, una doble y una triple:
Vemos como el ciclo de colores (rojo->verde->azul) se repite una, dos y tres veces en torno a cada raíz.
Podemos ver una versión del vídeo con los colores más oscuros:
En la siguiente variante del vídeo podemos usar una cuadrícula de colores (o cambiar a un código de colores basado en círculos concéntricos).
Se pueden mostrar (banda en negro), los puntos que se tranforman en complejos con módulo "próximos" a 1.
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Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
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