Dos puntos con diferentes valores de x determinan una función lineal (un polinomio de grado menor o igual que 1)
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Tres puntos con diferentes valores de x y que no estén alineados determinan una parábola, un polinomio de grado 2.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Cuatro puntos que no estén en una recta o en una parábola determinan una función cúbica.
La obtención de estas funciones son un caso particular de lo que llamamos Polinomios de Lagrange.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:
Moviendo los puntos rojos que determinan la cúbica podemos ver que estas funciones pueden ser siempre crecientes o crecientes-decrecientes-crecientes.
En estos casos el coeficiente del término de mayor grado a es positivo.
Si el coeficiente del término de mayor grado a es negativo entonces la función puede ser siempre decreciente o decreciente-creciente-decreciente.
Volveremos sobre este asunto cuando tratemos del máximo y mínimo de una cúbica y de su punto de inflexión.
El hecho de que una función de grado 3 tenga valores positivos por un lado y negativos por el otro (que es consecuencia del exponente 3, es decir de un exponente impar) garantiza que para algún valor de x la función
va a valer 0. Decimos que toda función cúbica tiene al menos un cero (o raíz) real.
Desde un punto de vista gráfico un cero o raíz real se corresponde con el valor de la x donde la gráfica corta al eje horizontal (eje de abcisas).
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Todas las funciones de grado impar tienen valores positivos por un lado y negativos por el otro. Y todas tienen, por lo menos, un cero o raíz real.
Para justificar se pueden seguir varios caminos. Uno de ellos es el Teorema de Bolzano. Otra manera de justificarlo es con el Teorema Fundamental del Álgebra.
Vamos a explorar las raíces de una función cúbica.
Una función cúbica puede tener tres raíces reales distintas:
Puede tener dos raíces reales distintas (en este caso, una de ellas es una raíz doble):
Hay funciones cúbicas que tienen solo una raíz real (que es una raíz triple), por ejemplo, f(x)= x^3:
Algunas funciones cúbicas tienen solo una raíz real (y dos raíces complejas conjugadas):
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Si marcamos la casilla 'Ceros' podremos ver los ceros de una función cúbica. Moviendo los puntos rojos o trasladando la gráfica verticalmente moviendo
el punto violeta podremos ver cómo dos o tres ceros se alejan o se aproximan hasta confundirse en un cero doble o triple.
Ahora vamos a fijarnos un poco más en la 'forma' de las funciones cúbicas.
Vemos que las funciones cúbicas se curvan hacia abajo (o hacia arriba) hasta un determinado valor de x y a partir de ese valor se curvan en el
sentido opuesto. Podemos usar los términos 'concavidad hacia abajo' o 'concavidad hacia arriba'.
Ese punto en el que la concavidad cambia de sentido se llama punto de inflexión. Toda función cúbica tiene un único punto de inflexión.
Hemos visto que algunas funciones cúbicas tienen una montaña y un valle. La 'cumbre de la montaña' recibe el nombre de máximo local y el 'fondo del valle'
recibe el nombre de mínimo local.
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Marcando la casilla 'Aux' veremos el punto de inflexión (de color violeta).
Si los hubiera, también se muestran el máximo y el mínimo locales (de color verde).
Modificando los puntos rojos podemos ver que si hay máximo y mínimo el punto de inflexión está en el medio entre ambos. Podemos hacer que ese máximo y
mínimo se confundan en el punto de inflexión y deje de existir el máximo y el mínimo locales.
Las funciones cúbicas con coeficientes reales o complejos tienen siempre tres raíces (reales o complejas)
por el Teorema Fundamental del Álgebra.
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, 'Functions and Graphs', Dover Publications, Mineola, N.Y.
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Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
MÁS ENLACES
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
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Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
