El Primer Teorema Fundamental del Cálculo afirma que podemos construir una
primitiva de cualquier función continua por integración.
Cuando combinamos esto con el hecho de que dos primitvas de la misma función son iguales salvo una constante, obtenemos el Segundo
Teorema Fundamental del Cálculo. (Apostol)
El Segundo Teoerema Fundamental del Cálculo (simplificando la hipótesis) dice: Supongamos que f es continua en un intervalo abierto I,
y sea P cualquier primitiva (una integral indefinida, P'=f) de f en I. Entonces, para cada a y cada b en I, tenemos que
La demostración no es difícil:
Sea
Entonces, por el Primer Teorema del Cálculo:
Existe una constante C tal que
Podemos calcular C pues
Entonces C es
Podemos escribir
Esta expresión es verdadera para x=b, y ya hemos obtenido el resultado buscado:
Este teorema nos dice que podemos calcular el valor de una interal definida simplemente restando, si conocemos una primitiva (antiderivada) F.
El problema de calcular una integral se transfiere a otro problema, el de calcular una primitiva F de f. Podemos leer cada fórmula de
derivada al revés y nos dará un ejemplo de primitiva de una función f y esto nos dará una fórmula para integrar esa función.(Apostol)
Queremos calcular una integral definida de una función f:
La función integral F es:
Si sabemos calcular otra primitiva o antiderivada P de f podemos calcular muy fácilmente (solo restando) el valor de la integral:
Si consideramos otra primitiva el resultado es el mismo:
O las diferentes técnicas que Cavalieri, Fermat y otros necesitaron para
integrar funciones potencia (1800 años después, hacia 1630):
Con la poderosa herramienta que nos proporciona el teorema, la integración de este tipo de funciones es pura rutina. Por ejemplo, si queremos integrar
Buscamos una primitiva (o antiderivada) del integrando:
Aplicamos el teorema:
El resultado es:
En general, es fácil integral funciones potencia:
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una poderosa herramienta para calcular integrales definidas exactamente pero es
útil solo si podemos encontrar una primitiva para la función que queremos integrar. Algunas veces esto es una tarea sencilla pero otras
veces es difícil. Para poder usar este teorema para calcular integrales definidas debemos desarrollar procedimientos que nos ayudan a
encontrar primitivas. A esto se le llama 'Técnicas de integración'.
Es bastante típico usar la letra F para la primitiva o antiderivada de f. Y usamos una notación para denotar la resta F(b) - F(a):
Un ejemplo básico:
Otro ejemplo sencillo: sabemos que Arquímedes fue capaz de calcular el área de un segmento parabólico. Ahora podemos usar el
Teorema Fundamental del Cálculo para calcular esta área:
El cálculo es sencillo pues es una función polinómica:
Hemos considerado un Segundo Teorema Fundamental del Cálculo con unas hipótesis sencillas. En cualquier buen libro de cálculo se puede ver que este
teorema aplica a todas las funciones integrables (no necesariamente continuas). Con esta hipótesis el teorema es más difícil de probar.
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963 (p. 95-99).
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980 (p. 190).
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
David M. Bressoud, Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus, American Mathematical Monthly 118 (2011).
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
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