El foco cambió cuando los matemáticos se plantearon calcular el área bajo el gráfico de una función. Esto llevó al uso
(y después a la definición) del concepto de integral.
Siguiendo a Leibniz, usamos este símbolo para representar la integral:
Para calcular el área consideramos algunas áreas positivas y otras negativas:
La solución ya era conocida en tiempos de Cavalieri (quien pudo resolver la integral para varias funciones potencia). Un procedimiento para resolver la integral de estas
funciones básicas pero muy importantes usa progresiones geométricas.
Una manera de resolver este tipo de problemas, desde un punto de vista abstracto, consiste en usar rectángulos para aproximar el área y considerar
el límite cuando las bases de estos rectángulos tienda a cero. Este concepto se define formalmente en la
integral de Riemann. La idea es compleja pero aquí solo nos interesa que de algún modo vamos a poder calcular
el área.
INTEGRAL INDEFINIDA
Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de
integración b entonces podemos definir una nueva función
Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior.
La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de
la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)
Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.
En esta aproximación intuitiva usaremos rectángulos de igual base. Podemos ver cómo usando rectángulos podemos aproximar el área:
Tomando dos valores diferentes para la altura de esos rectángulos (por ejemplo, la altura por la derecha y por la izquierda) podemos obtener dos
aproximaciones diferentes (por ejemplo, si la función es creciente, de este modo obtenemos una aproximación por exceso y otra por defecto):
Si usamos más y más rectángulos, con bases más pequeñas, la aproximación es cada vez mejor:
Decimos que las funciones cuadráticas son funciones integrables pues podemos calcular una integral indefinida de una parábola.
Una función integral de una función cuadrática es un polinomio de grado 3.
Si cambiamos el límite inferior de integración, la función integral sube o baja pero no cambia su forma. (¿Por qué?)
Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral
pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).
Cuando integramos un polinomio de grado 1
obtenemos un polinomio de grado 2 y si integramos un polinomio de grado 2 obtenemos un polinomio de grado 3.
Cuando integramos estas funciones el resultado que obtenemos es un polinomio de grado uno más que la función original.
Podemos recordar aquí que cuando derivamos una función cuadrática el resultado es un polinomio de grado
uno menos que la función original (es ese caso un polinomio de grado 1, una recta)
Vamos a estudiar ahora el valor medio de una función en un intervalo, en nuestro caso de una función cuadrática.
El valor medio de una función f(x) en el intervalo [a,b] viene dada por
La idea es que el área bajo la función (positiva o negativa) ...
... es el área de un rectángulo cuya altura es el valor medio.
Puesto que las funciones cuadráticas son continuas, son un caso especial del Teorema del Valor Medio para integrales: Si
f(x) es una función continua en un intervalo [a,b]
entonces hay un número c en [a,b] tal que
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
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