Después de estudiar algunas ideas sobre la integral de funciones afines y
funciones cuadráticas,
vamos a ver las mismas ideas básicas aplicadas a las funciones polinómicas de cualquier grado.
El foco cambió cuando los matemáticos se plantearon calcular el área bajo el gráfico de una función. Esto llevó al uso
(y después a la definición) del concepto de integral.
Siguiendo a Leibniz, usamos este símbolo para representar la integral:
el problema es calcular un área bajo la gráfica de una función polinómica.
Por ejemplo, una función polinómica de grado 3:
Otro ejemplo, una función polinómica de grado 4:
Otro ejemplo más, una función polinómica de grado 5:
Para calcular una integral consideramos algunas áreas positivas y otras negativas:
Este problema para el caso sencillo de funciones polinómicas estaba casi resuelto en tiempos de Cavalieri (quien pudo calcular
la integral de varias funciones potencia).
Un modo importante de abordar este problema es usar rectángulos para aproximar el área y tomar el límite cuando las bases de estos rectángulos
tienden a cero. Cuando este concepto se define formalmente hablamos de la integral de Riemann.
INTEGRAL INDEFINIDA
Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de
integración b entonces podemos definir una nueva función
Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior.
La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de
la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)
Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.
En esta aproximación intuitiva vamos a usar rectángulos de bases iguales solamente para simplificar.
Podemos ver cómo usando rectángulos aproximamos el área (en el ejemplo la función es un polinomio de grado 3 pero nosotros podemos practicar con
funciones polinomicas de diferentes grados):
Si tomamos dos valores diferentes para la altura de estos rectángulos obtenemos dos aproximaciones diferentes del área:
Si usamos más y más rectángulos, con las bases cada vez más pequeñas, las aproximaciones son cada vez mejores:
No siempre es posible calcular la integral de una función. Si podemos calcular la integral indefinida de una función decimos que es una
función integrable. Las funciones polinómicas son funciones integrables.
Una función integral de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n+1.
Por ejemplo, la función integral de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 4:
Si la función es un polinomio de grado 4, la función integral es un polinomio de grado 5:
Si cambiamos en límite inferior de integración, la función integral sube y baja pero no cambia de forma. (¿Por qué?).
Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral
pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
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