Ya hemos visto algunas ideas en torno a la definición de la integral definida.
Supongamos ahora que f es una función integrable en [a,b]. Si mantenemos a y f fijos, podemos definir una nueva función en [a,b] por la fórmula
A esta función la llamamos una integral indefinida de f.
Si f es positiva, F(x) se llama, a veces, una función área.
Decimos una integral indefinida en vez de la integral indefinida porque F también depende del límite inferior de integración a.
Diferentes valores de a dan lugar a diferentes funciones F. Pero la diferencia entre dos funciones integrales de la misma función is independiente de x,
sólo se diferencian en una constante. [Apostol]
Podemos ver un comportamiento similar cuando estuadiamos el concepto de antiderivada o primitiva.
Si f es positiva en un intervalo, entonces F (en este caso F es área) es creciente.
Si f es negativa en un intervalo, entonces F es decreciente.
Si f(x)=0 entonces x es un punto crítico de F.
Estas tres relaciones entre F y f son precisamente las de una función y su derivada.
Podemos empezar estudiando integrales usando funciones polinómicas sencillas:
lineales, cuadráticas y
funciones polinómicas generales.
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
MÁS ENLACES
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).
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