Conociendo el resultado, es decir, el área de la elipse, Arquímedes consideró un círculo secundario con la misma área que la elipse.

El radio de este círculo es:

Arquímedes quería probar que el área de la elipse es igual al área de este círculo secundario.

Arquímedes consideró un polígono similar a P', inscrito en el círculo auxiliar C'.

La relación entre las áreas de estos dos polígonos semejantes es:

Arquímedes comienza su doble reducción al absurdo.

Si fuera posible, sea el área del círculo secundario mayor que el ára de la elipse

"Podemos entonces inscribir en el círculo secundario un polígono equilátero de 4n lados tal que su área es mayor que el de la elipse" [cf. De la esfera y el cilindro, I. 6.]" (Arquímedes)

Entonces

Entonces podemos consiederar un polígono similar en el círculo auxiliar y el correspondiente polígono en la elipse.

"Supongamos que P' denota el área de del polígono inscrito en el círculo auxiliar, y P el área del polígono inscrito en la elipse" (Archimedes)

Sabemos que

Entonces

"Pero esto es imposible, porque el primer polígono es por hipótesis mayor que la elipse, y, con mayor motivo, mayor que P.

Por lo tanto el círculo secundario no es mayor que la elipse." (Arquímedes)

Si fuera posible, supongamos que el círculo secundario es menor que la elipse.

En este caso inscribimos en la elipse un polígono P con 4n lados iguales tal que

Arquímedes considera el polígono P' inscrito en el círculo auxiliar y un polígono semejante inscrito en el círculo secundario.

Como antes

lo cual es imposible.

Esto completa la demostración por doble reducción al absurdo.

"Por lo tanto el círculo secundario, como no puede ser ni mayor ni menor que le elipse es igual a ella; y obtenemos el resultado requerido." (Arquímedes)

"En esencia, Arquímedes ha dado simplemente una prueba rigurosa por exhausción del hecho intuitivamente evidente de que el área de la elipse es b/a veces el área de su círculo auxiliar, esto se corresponde con la observación de que el círculo se transofrma en la elipse comprimiendo su dimensión vertical por el factor b/a." (C. H. Edwards)

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