Podemos inscribir un cubo en un dodecaedro y ver el dodecaedro como un cubo con seis tejadillos. Estos seis
tejadillos se pueden plegar dentro de un cubo. En el interior queda un espacio vacío.
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Este espacio se puede llenar con un poliedro que es un tipo de piritoedro, es decir, un dodecaedro irregular con sus doce
caras pentagonales no regulares iguales. En este caso, además, el piritoedro tiene todas sus aristas iguales.
Se trata de un poliedro cóncavo.
Como otras veces, os animo a construir vuestro propio piritoedro con cartulina.
Zome es una herramienta excelente para construir poliedros y para
construir el piritoedro sólo necesitamos las piezas azules.
Ocho de los veinte vértices están en el cubo:
En el interior, doce vértices están en tres rectángulos áureos:
Podemos señalar estos tres rectángulos áureos con tres colores diferentes para verlo mejor:
Estos doce vértices son los vértices de un icosaedro:
Para calcular el volumen de este piritoedro de arista 1 debemos recordar algunas propiedades de la proporción áurea.
Es un cálculo muy parecido al del volumen del dodecaedro. Fundamentalmente, se trata de calcular el volumen de un tejadillo
y tener en cuenta que ahora esos seis tejadillos están dentro del cubo.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El volumen de este piritoedro es el volumen del cubo menos seis veces el volumen de un tejadillo.
Recordamos el volumen del cubo:
El volumen de un tejadillo es:
Por lo tanto, el volumen del piritoedro es:
MÁS ENLACES
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
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