matematicas visuales visual math
Complex Functions: Moebius Transformations


Las transformaciones de Moebius son funciones con fórmula del tipo

Tiene un cero y un polo simples.

Son transformaciones conformes del plano complejo y transforman "circunferencias" en "circunferencias". Circunferencias entre comillas son circunferencias y rectas.

En esta primera aproximación a estas transformaciones controlamos el cero, el polo y un tercer punto que es fijo por la transformación.

En la representación que llamamos en "polares" los colores se distribuyen según un haz de rectas concurrentes en el origen y una familia de circunferencias concéntricas con centro el origen. En la representación de colores en "cartesianas" los colores forman una cuadrícula. En ambos casos, son dos familias de "circunferencias" ortogonales. Se transforman en dos haces de "circunferencias" ortogonales.

En esta representación sólo se colorean de color no negro los puntos transformados con módulo pequeño. Es decir, se pierde detalle en el polo.

Podemos elegir dos criterios para elegir el color. En polares los colores se distribuyen en sectores y los tonos en círculos concéntricos. En cartesianas los colores forman una cuadrícula. Si marcamos "Identidad" podremos ver estas dos distribuciones.

En polares, podemos optar por colorear sólo aquellos puntos que se transforman en puntos de módulo menor que 1, aquellos que están entre 1 y 2 o ambos. Análogamente, en el caso de "cartesianas".

También podemos representar dos bandas: puntos "muy próximos" a 1 y puntos "muy próximos" a 2.

Los interesados en las transformaciones de Moebius pueden ver un vídeo muy premiado y muy bonito hecho por Douglas N. Arnold en colaboración con Jonathan Rogness. Una maravilla. Arnold tiene varias páginas sobre visualización matemática, por ejemplo, sobre visualización de Análisis Complejo.

REFERENCES

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press(pag. 60).

MORE LINKS

Complex Polynomial Functions(1): Powers with natural exponent
Complex power functions with natural exponent have a zero (or root) of multiplicity n in the origin.
Complex Polynomial Functions(2): Polynomial of degree 2
A polynomial of degree 2 has two zeros or roots. In this representation you can see Cassini ovals and a lemniscate.
Complex Polynomial Functions(3): Polynomial of degree 3
A complex polinomial of degree 3 has three roots or zeros.
Complex Polynomial Functions(4): Polynomial of degree n
Every complex polynomial of degree n has n zeros or roots.
Complex Polynomial Functions(5): Polynomial of degree n (variant)
Every complex polynomial of degree n has n zeros or roots.
Cero and polo (Spanish)
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
The Complex Exponential Function
The Complex Exponential Function extends the Real Exponential Function to the complex plane.
The Complex Cosine Function
The Complex Cosine Function extends the Real Cosine Function to the complex plane. It is a periodic function that shares several properties with his real ancestor.
The Complex Cosine Function: mapping an horizontal line
The Complex Cosine Function maps horizontal lines to confocal ellipses.
Inversion
Inversion is a plane transformation that transform straight lines and circles in straight lines and circles.
Inversion: an anticonformal transformation
Inversion preserves the magnitud of angles but the sense is reversed. Orthogonal circles are mapped into orthogonal circles
Multifunctions: Powers with fractional exponent
The usual definition of a function is restrictive. We may broaden the definition of a function to allow f(z) to have many differente values for a single value of z. In this case f is called a many-valued function or a multifunction.
Multifunctions: Two branch points
Multifunctions can have more than one branch point. In this page we can see a two-valued multifunction with two branch points.
Taylor polynomials: Complex Exponential Function
The complex exponential function is periodic. His power series converges everywhere in the complex plane.
Taylor polynomials: Complex Cosine Function
The power series of the Cosine Function converges everywhere in the complex plane.
Taylor polynomials: Rational function with two complex singularities
We will see how Taylor polynomials approximate the function inside its circle of convergence.