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Una sucesión es una lista ordenada de números. Algunas sucesiones siguen una regla, otras no.

Cada número de una sucesión se llama un término.

Podemos ver las sucesiones como funciones. El dominio son los números naturales.

Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que los términos después del primero se obtienen multiplicando el término anterior por un número fijo distinto de cero, una constante, que se llama razón.

La palabra razón proviene de la Matemática griega y, en este contexto, significa división o cociente. La razón de una sucesión geométrica se obtiene dividiendo un término entre su anterior. Siempre se obtiene la misma constante.

Los términos de una sucesión geométrica pueden expresarse por medio de una fórmula del término general:

Sucesiones o progresiones geométricas: fórmula del término general | matematicasvisuales

Cuando la razón r es mayor que 1 obtenemos una secuencia creciente (crecimiento exponencial).

Sucesiones o progresiones geométricas: Cuando la razón r es mayor que 1 obtenemos una secuencia creciente (crecimiento exponencial) | matematicasvisuales

El crecimiento exponencial empieza generalmente poco a poco, lentamente, pero después de un número suficiente de pasos el crecimiento se hace cada vez mayor. Incluso cuando la razón es sólo un poco mayor que uno. Por ejemplo, éste es el resultado después de 300 pasos con una razón de 1.01.

Sucesiones o progresiones geométricas: Cuando la razón r es mayor que 1 obtenemos una secuencia creciente (crecimiento exponencial) incluso cuando la razón es muy poco mayor que 1 | matematicasvisuales

Si la razón r es positiva y menor que 1 la sucesión es decreciente y el término general tiende a 0.

Sucesiones o progresiones geométricas: Si la razón es positiva y menor que 1 la sucesión es decreciente y el término general tiende a 0 | matematicasvisuales

Cuando la razón r es negativa la sucesión se dice alternante. Los signos de los sucesivos términos van cambiando.

Si la razón r está entre -1 y 0 el término general de la sucesión alternante tiende a 0.

Sucesiones o progresiones geométricas: Si la razón está entre -1 y 0 el término general de la sucesión alternante tiende a 0 | matematicasvisuales

Si la razón r es menor que -1 la sucesión alternante se hace cada vez mayor en valor absoluto. Pero los signos se van alternando.

Sucesiones o progresiones geométricas: Si la razón es menor que -1 la sucesión alternante se hace cada vez mayor en valor absoluto. Pero los signos se van alternando | matematicasvisuales

Podemos considerar la suma de los primeros términos de una sucesión geométrica. Esto no supone ningún problema especial pues estamo sumando unos pocos números y obtendremos un resultado.

Además resulta que podemos encontrar una fórmula elegante (y el procedimento para obtener esta fórmula también es interesante y se puede ver en cualquier libro):

Sucesiones o progresiones geométricas: suma de los primeros términos de una sucesión geométrica | matematicasvisuales

En la siguiente aplicación podemos jugar con diferentes casos con la razón positiva:

Podemos ver el comportamiento cuando la razón es mayor que 1. En este caso la suma crece y crece:

Sucesiones o progresiones geométricas: comportamiento cuando la razón es mayor que 1. En este caso la suma crece y crece | matematicasvisuales

Si sumamos los primeros términos de una sucesión geométrica con razón positiva y menos que 1 el resultado parece que se va aproximando a un número:

Sucesiones o progresiones geométricas: Si sumamos los primeros términos de una sucesión geométrica con razón positiva y menos que 1 el resultado parece que se va aproximando a un número | matematicasvisuales

Si nos planteamos sumar los infinitos términos de una sucesión entonces el asunto ya no es tan trivial.

Una serie es la suma de los infinitos términos de una sucesión.

Si la razón r es positiva y menor que 1 podremos sumar los infinitos términos de una sucesión geométrica y obtendremos un número. Decimos que la serie es convergente, que se aproxima a un límite.

Sucesiones o progresiones geométricas y series: suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica | matematicasvisuales

Si la razón r es positiva y mayor que 1 la serie no se aproxima a ningún número. Cada vez se hace mayor y mayor. Crece por encima de cualquier cota que pongamos. Decimos que la serie es divergente.

Sucesiones o progresiones geométricas y series: Series divergentes | matematicasvisuales

En la siguiente aplicación podemos jugar con el caso general. La razón puede ser positiva o negativa:

Una serie divergente y alternante:

Sucesiones o progresiones geométricas and series: serie divergente y alternante | matematicasvisuales

Una serie convergente y alternante:

Sucesiones o progresiones geométricas: serie convergente y alternante | matematicasvisuales

La condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie geométrica con razón r distinta de cero es:

Sucesiones o progresiones geométricas: condición de convergencia de una serie geométrica | matematicasvisuales

La fórmula para calcular la suma de una serie geométrica convergente es:

Sucesiones o progresiones geométricas: fórmula de la suma de una serie geométrica convergente | matematicasvisuales

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