Los tres puntos de intersección de las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera son los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Morley).

Demostración muy bonita y visual de Conway. Podemos jugar con una animación interactiva y ver los diferentes pasos de la demostración.

A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson-Wallace o recta de Simson.

Demostración interactiva de que los tres puntos que determinan cada recta de Wallace-Simson están alineados.

La envolvente de las rectas de Simson-Wallace de un triángulo es una curva con tres cúspides que se llama Deltoide de Steiner.

La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.

El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.

Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.

Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras por Hermann Baravalle.

Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.

Usando regla y compás podemos dibujar ángulos de 15 grados. Son ejemplos básicos de las propiedades de los ángulos central e inscrito en una circunferencia.

Si se inscribe en una circunferencia un hexágono, los puntos de intersección de lados opuestos son colineales.

Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.

Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.

Los triángulos equiláteros son figuras semejantes. Si calculamos el área de un solo triángulo equilátero, por semejanza, sabremos el área de cualquier triángulo equilátero. Repasaremos relaciones entre longitudes y áreas de figuras semejantes aplicadas a este caso particular.

En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

Hay infinitas espirales equiangulares que pasan por dos puntos.

La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.

Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.

A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.

Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.

La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.

El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.

Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.

El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.

Si un segmento de longitud fija se mueve de modo que sus extremos están en dos rectas perpendiculares, cualquier punto del segmento traza una elipse.

La sección de un cilindro por un plano que corta al eje del cilindro en un punto es una elipse. Probamos este resultado usando las esferas de Dandelin.

Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.

Durero nos mostró un método excelente para dibujar elipses pero cometió un pequeño error. La intuición parece decirnos que la sección de un cono tiene forma de huevo. Podemos probar, usando conceptos básicos, que la elipse tiene dos ejes de simetría.

La astroide es la envolvente de un segmento de longitud constante cuyos extremos se mueven sobre dos rectas perpendiculares. También es la envolvente de una familia de elipses con la propiedad de que la suma de sus ejes es constante.

La astroide es un caso particular de una familia de curvas que llamamos hipocicloides.

Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.

Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.

Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.

Exposición sobre los sólidos arquimedianos realizados por alumnos de 1ºESO del IES Alonso Quijano de Alcalá de Henares.

El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado. Podemos calcular el área de esas secciones.

En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.

El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).

Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.

Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.

El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.

El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.

Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.

El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.

El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.

El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.

Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.

Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.

Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.

Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.

Se pueden colocar cinco tetraedros en un dodecaedro de dos formas distintas, quirales. La combinación de estos dos poliedros da lugar al compuesto de diez tetraedros en un dodecaedro.

Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.

Estudiamos un tipo de poliedros inscritos en una esfera, en particular la llamada esfera de Campanus que fue muy popular durante el Renacimiento y que Luca Pacioli llamó Septuaginta.

Un mapa básico de la Tierra como una esfera. Sistema de Coordenadas Geográfico: Latitud, longitud.

Esta proyección tiene la propiedad de preservar el área. El área de la esfera es igual al área lateral del cilindro circunscrito. Conociendo el área de la esfera podemos deducir su volumen, tal como hizo Arquímedes.

La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.

Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?

Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.

Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.

Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.

Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.

Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.

El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.

A partir de un conocimiento básico del dodecaedro rómbico se puede calcular rápidamente la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas.

Tetraxis es un puzle muy interesante, sencillo y bonito, diseñado por Jane y John Kostick. Estudiaremos algunas propiedades de este juego y su relación con el dodecaedro rómbico. Plantillas para construir un Tetraxis con cartulina e imanes. El rompecabezas hecho con impresión 3D.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.

También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro aumentado.

En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.

A partir de un rombicuboctaedro podemos añadir pirámides a sus caras. Obtenemos un precioso poliedro que parece una estrella.

Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.

Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.

Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.

La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.

Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.

Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.

Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.

Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.

El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.

Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.

Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.

Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.

Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.

El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.

Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.

El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.

Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.

Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.

Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.

Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.

Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.

Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.

Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.

Microarquitectura es un juego de construcción desarrollado por Sara San Gregorio. Podemos jugar con él y construir muchas estructuras inspiradas en poliedros.

Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.

Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 19 de Octubre de 2018). Diferentes construcciones del icosaedro nos ayudan a comprender sus propiedades. El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros.

Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.

Un icosaedro se puede poner dentro de un octaedro de modo que sus 12 vértices estén en las 12 aristas del octaedro. Dos construcciones nos ayudan a comprender esta relación y, gracias a ella, calcularemos el volumen del icosaedro.

Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.

Construcción de un pequeño dodecaedro estrellado como metáfora del confinamiento que estamos viviendo por la pandemia del coronavirus COVID-19.

Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.

Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.

Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.

Representación gráfica de progresiones geométricas. Suma de los términos de una sucesión geométrica. Series geométricas.

Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4

La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.

A partir de una función positiva decreciente podemos definir series y aplicar el test de la integral. El test de la integral es un criterio que nos puede ayudar a decidir si una serie converge o diverge. Además, si la serie converge nos dará cotas.

La constante de Euler se define como una serie convergente.

Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.

Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.

Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.

Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.

Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.

Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).

Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.

Podemos añadir un polinomio a una función racional propia. El comportamiento asintótico de esta función racional será muy parecido al del polinomio.

La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.

La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola

Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.

Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.

Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.

Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.

La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.

Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.

Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.

Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.

Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.

El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).

Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.

Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.

Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.

En general, las funciones lineales a trozos no son continuas. Hay puntos en los que un pequeño cambio en la x produce un salto en el valor de la función.

Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.

Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.

Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.

Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1. Partiendo de esta definición podemos aproximar su valor.

El número e, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como una integral o como el límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto. Ambas definiciones coinciden.

Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.

Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).

Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.

Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.

Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.

La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.

La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.

Se puede ver como una rotación dilatativa.

Geométricamente, la multiplicación por un complejo es una transformación del plano que consiste en una rotación y una expansión o contracción (rotación dilatativa).

Una progresión geométrica compleja está relacionada con las espirales equiangulares.

Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.

Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.

Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.

Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.

Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.

Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.

Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.

Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.

La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.

La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.

La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.

La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.

La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales

El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.

Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.

Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.

La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.

La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.

La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.

En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.

La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.

Las distribucines normales fueron estudiadas por Gauss. Son variables aleatorias continuas (la variable puede tomar cualquier valor real). La función de densidad tiene forma de campana.

Una propiedad importante de las distribuciones normales es que si consideramos intervalos centrados en la media y con una longitud proporcional a la desviación típica, la probabilidad de estos intervalos es constante independientemente de la distribución normal considerada.

La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria X, evaluada en x, es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales que x. En esta página estudiamos las distribuciones normales.

Calculamos probabilidades de intervalos simétricos en torno a la media en distribuciones normales.

La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.

Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación del poliedro de 72 caras (Septuaginta) también conocido como esfera de Campanus de Novara.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro aumentado.

En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.

En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.

Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.

Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.

Durero nos mostró un método excelente para dibujar elipses pero cometió un pequeño error. La intuición parece decirnos que la sección de un cono tiene forma de huevo. Podemos probar, usando conceptos básicos, que la elipse tiene dos ejes de simetría.

Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.

Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Traducción del artículo 'Kepler: The Volume of a Wine Barrel' publicado en 2012 en Convergence ('Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact'), revista digital de la Mathematical Association of America.

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes. En esta página repasamos un problema de optimización.

Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.

Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.

Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones con potencias de números naturales.

Aplicación para practicar el cálculo mental del m.c.d y del m.c.m de dos números.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones con números enteros.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones con potencias de números enteros.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones con potencias de números enteros. Potencia de una potencia y división de potencias.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones fracciones: simplificación y sumas.

Aplicación para practicar cálculo mental con operaciones fracciones: multiplicación.

Aplicación para practicar cálculo mental con decimales multiplicados o divididos por potencias de 10: por diez, por cien, por mil, por una décima, una centésima o una milésisma.

Aplicación para practicar cálculo mental con raíces cuadradas, producto de raíces y extracción de factores.

Aplicación para practicar cálculo mental sobre porcentajes sencillos.

Aplicación para practicar sumas de polinomios de grado 1.

Aplicación para practicar multiplicaciones de polinomios de grado 1 por un número entero.

Aplicación para practicar el concepto de valor numérico de un polinomio de grado 1.

Aplicación para practicar las identidades notables.

Aplicación para practicar cálculo mental con polinomios de grado 2. Factorizaciones.

Aplicación para practicar cálculo mental con ecuaciones de primer grado en las que intervienen sumas y restas.

Aplicación para practicar cálculo mental con ecuaciones de primer grado con productos y fracciones.

Aplicación para practicar cálculo mental con ecuaciones de primer grado con productos y fracciones. Intervienen tres números, como en la regla de tres.

Aplicación para practicar cálculo mental con ecuaciones de grado 2 sencillas. En particular estudiamos ecuaciones incompletas.

Página con enlaces de actividades matemáticas que podemos hacer en casa.

Página con enlaces de actividades matemáticas fáciles que podemos hacer en casa. Pensadas para alumnos de Educación Secundaria, edad aproximada 12-16 años.

Página con enlaces de actividades matemáticas que podemos hacer en casa un poco más complicadas. Pensadas para alumnos de Bachillerato o último año de Educación Secundaria. Edad aproximada, a partir de 15 años.

Si tenemos impresora en casa podemos imprimir plantillas en cartulina (o papel) y hacer interesantes construcciones. Muchas son sencillas y puedes intentar hacerlas con reglas y compás. Aunque no puedas hacerlas, también puedes mirarlas pues de ellas sacaremos interesantes consecuencias matemáticas.

El Concurso de Primavera de Matemáticas es organizado por la Asociación Matemática Concurso de Primavera y la Facultad de Matemática de la UCM. Sus problemas están pensados para que sean agradables.

Construcción de un octaedro con ocho cuadrados de papel. Los seis vértices del octaedro están en 3 cuadrados.

Construcción de un cubo con cartulina. Dentro de él podemos poner un octaedro de origami. Una idea interesante asociada a esta construcción es la dualidad de cubo y octaedro.