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La función coseno en los reales puede extenderse al campo complejo usando la función exponencial:

La función coseno complejo formula | matematicasvisuales

Como la función exponencial es periódica con periodo ,

La función exponencial compleja es periodica | matematicasvisuales

entonces la función coseno compleja es periódica, pero con periodo 2*pi.

Arrastrando el rectángulo podemos ver cómo la función coseno es periódica.

La función coseno compleja es periodica (arrastrar el rectangulo) | matematicasvisuales

Podemos ver desde otro punto de vista esta periodicidad in la página sobre el Polinomio de Taylor de la función coseno.

Polinomio de Taylor de la función coseno compleja | periodicidad | matematicasvisuales

La función coseno compleja tiene mucho en común con la función compleja real, por ejemplo:

La función coseno es par | matematicasvisuales
La función coseno compleja es función par | matematicasvisuales

La imagen de una línea horizontal es una elipse:

La imagen de una línea vertical es una hipérbola:

Complex Cosine Function |hyperbola  | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 88-89) - Oxford University Press

ENLACES

La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.