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Ya hemos visto que las funciones cúbicas reales pueden tener, como mucho, tres raíces o ceros reales.

Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.

Al considerar una función cúbia en el plano complejo siempre tiene tres raíces. Es un caso particular del polinomio de grado n que, por el Teorema fundamental del Álgebra, tiene n raíces.

Empezamos viendo la representación del polinomio cuyas ceros son las raíces cúbicas de la unidad.

Funciones polinómicas complejas de grado 3: raíces cúbicas de la unidad | matematicasVisuales

Al modificar la posición de los ceros o raíces se representa una función polinómica cúbica más general

Podemos mover (despacio) los puntos que representan estas raices y ver diferentes casos. Por ejemplo, haciendo que alguno de estos ceros tenga multiplicidad doble o triple.

La multiplicidad del cero se representa con el número de veces que el ciclo de colores (rojo->verde->azul) aparece en torno al punto.

Este es otro ejemplo con tres raíces simples:

Funciones polinómicas complejas de grado 3: tres raíces simples | matematicasVisuales

Este es un ejemplo de una raíz doble y una simple:

Funciones polinómicas complejas de grado 3: una raíz doble y una simple | matematicasVisuales

En torno a la raíz doble el ciclo de colores se repite dos veces.

Este es un ejemplo de una raíz triple:

Funciones polinómicas complejas de grado 3: una raíz triple | matematicasVisuales

En torno a la raíz triple el ciclo de colores se repite tres veces.

Podemos ver una versión del applet con los colores más oscuros:

En la siguiente variante del applet podemos usar una cuadrícula de colores (o cambiar a un código de colores basado en círculos concéntricos). Se pueden mostrar (banda en negro), los puntos que se tranforman en complejos con módulo "próximos" a 1.

Este es un ejemplo cuando el código de colores es una cuadrícula:

Funciones polinómicas complejas de grado 3: código de colores cuadrícula | matematicasVisuales

El mismo polinomio cuando lo representamos con un código en polares:

Funciones polinómicas complejas de grado 3: código de colores en polares | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press.

MÁS ENLACES

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