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Ya hemos visto que las funciones polinómicas reales de grado n pueden tener, como mucho, n raíces o ceros reales.

Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

Al considerar una función polinómica general de grado n en el plano complejo siempre tiene n raíces, por el Teorema fundamental del Álgebra.

Empezamos viendo la representación del polinomio cuyas ceros son las raíces n-ésimas de la unidad.

para el caso particular n= 5. En este caso hablamos de las raíces quíntuples de la unidad:

Funciones polinómicas complejas de grado n: raíces quíntuples de la unidad | matematicasVisuales

Al modificar la posición de los ceros o raíces se representa la función polinómica general de grado n.

Podemos modificar el grado el polinomio y mover los ceros del polinomio. Estos ceros pueden estar repetidos y entonces decimos que tienen multiplicidad doble, triple, etc.

La multiplicidad del cero se representa con el número de veces que el ciclo de colores (rojo->verde->azul) aparece en torno al punto.

En este ejemplo vemos la representación de una función polinómica de grado 5 con una raíz simple y dos dobles:

Funciones polinómicas complejas de grado n: polinomio de grado 5 con dos raíces dobles y una simple | matematicasVisuales

Esta es una representación de una función polinómica de grado 6 con una raíz simple, una doble y una triple:

Funciones polinómicas complejas de grado n:  | matematicasVisuales

Vemos como el ciclo de colores (rojo->verde->azul) se repite una, dos y tres veces en torno a cada raíz.

Podemos ver una versión del applet con los colores más oscuros:

En la siguiente variante del applet podemos usar una cuadrícula de colores (o cambiar a un código de colores basado en círculos concéntricos). Se pueden mostrar (banda en negro), los puntos que se tranforman en complejos con módulo "próximos" a 1.

Este es un ejemplo cuando el código de colores es una cuadrícula:

Funciones polinómicas complejas de grado 5: código de colores cuadrícula | matematicasVisuales
Funciones polinómicas complejas de grado 5: código de colores en polares | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press.

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