matematicas visuales home | visual math home

Las funciones potencia complejas con exponente un número natural n

tienen un cero de multiplicidad n en el origen. Son ejemplos sencillos de funciones polinómicas.

Su representación nos permite ver cómo en un cero de multiplicidad n el ciclo de colores se repite n veces.

Podemos modificar el valor de n para ver la representación de diferentes funciones potencia.

La función identidad tiene un cero de multiplicidad 1:

Funciones polinómicas complejas, funciones potencia : la función identidad | matematicasVisuales

La función potencia de grado 2 tiene un cero de multiplicidad 2:

Funciones polinómicas complejas, funciones potencia : La función potencia de grado 2 tiene un cero de multiplicidad 2 | matematicasVisuales

La función potencia de grado 3 tiene un cero de multiplicidad 3:

Funciones polinómicas complejas, funciones potencia : La función potencia de grado 3 tiene un cero de multiplicidad 3 | matematicasVisuales

La función potencia de grado 4 tiene un cero de multiplicidad 4:

Funciones polinómicas complejas, funciones potencia : La función potencia de grado 4 tiene un cero de multiplicidad 4 | matematicasVisuales

La función potencia de grado 5 tiene un cero de multiplicidad 5:

Funciones polinómicas complejas, funciones potencia : La función potencia de grado 5 tiene un cero de multiplicidad 5 | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press.

MÁS ENLACES

Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas complejas (5): Polinomio de grado n (variante)
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Cero y polo
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Cero y polo (variante)
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Transformaciones de Moebius
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Inversion: una transformación anticonforme
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Multifunciones: Dos puntos de ramificación
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.