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Inversión en una circunferencia es una transformación que preserva la magnitud de los ángulos pero cada ángulo se transforma en un ángulo de signo opuesto. El sentido o dirección de cada ángulo se invierte. La inversión en una circunferencia es una transformación anti-conforme (como la reflexión en una recta).

En particular, la inversión es una transformación que preserva el ángulo de intersección de dos circunferencias. Circunferencias ortogonales (o rectas perpendiculares) se transforman en circunferencias ortogonales (o rectas). Una circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión se transforma en ella misma (no punto a punto).

Inversión transforma cada circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión en ella misma | matematicasvisuales

Todas las rectas que pasan por un punto y todas las circunferencias concéntricas que tienen ese punto por su centro común pueden ser vistos como dos casos particulares de haces coaxiales de circunferencias. Estos dos haces coaxiales son ortogonales. Las rectas forman un haz coaxial secante y las circunferencias concentricas forman un haz coaxial no secante. Estos haces coaxiales ortogonales se transforman en dos haces coaxiales ortogonales:

Inversión de dos haces coaxiales ortogonales | matematicasvisuales

Cada rectángulo "pequeño" se transforma en un rectángulo "pequeño":

Cada rectángulo pequeño se transforma en un rectángulo pequeño | matematicasvisuales

En esta figura podemos ver cómo el orden de colores se invierte (si los miramos en sentido horario pasan a antihorario) y este hecho es consecuencia de la inversión del sentido de los ángulos:

El orden de los colores muestra cómo el sentido de los ángulos se invierte | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Hilber and Cohn-Vossen - Geometry and the Imagination (pag. 253) - Chelsea Publishing Company
Coxeter - Introduction to Geometry - Wiley and Sons.
Pedoe - Circles, a Mathematical View - Dover
Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 124) - Oxford University Press
Rademacher and Toeplitz - The Enjoyment of Mathematics (Números y Figuras - Alianza Editorial)
Ogilvy - Excursions in Geometry (pag. 24)- Oxford University Press

ENLACES

Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Transformaciones de Moebius
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.