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Análisis real

Sucesiones o progresiones geométricas | matematicasVisuales Suma de la serie geométrica de razón 1/4 | matematicasVisuales Suma de la serie geométrica de razón 1/2 | matematicasVisuales Convergencia de Series: el criterio de la integral | matematicasVisuales Gamma, la constante de Euler | matematicasVisuales Funciones polinómicas (1): funciones afines | matematicasVisuales Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos) | matematicasVisuales
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas | matematicasVisuales Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas | matematicasVisuales Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange | matematicasVisuales Funciones racionales (1): Funciones racionales lineales | matematicasVisuales Funciones racionales (2): el denominador es un polinomio de grado 2 | matematicasVisuales Funciones racionales (3): Asíntota oblicua | matematicasVisuales Funciones racionales (4): Comportamiento asintótico | matematicasVisuales
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas | matematicasVisuales Integral definida | matematicasVisuales Integral indefinida | matematicasVisuales
Las funciones monótonas son integrables | matematicasVisuales Integral de funciones potencia | matematicasVisuales El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales
El Teorema Fundamental del Cálculo (1) | matematicasVisuales El Teorema Fundamental del Cálculo (2) | matematicasVisuales Funciones lineales a trozos. El caso más sencillo: un segmento | matematicasVisuales Funciones constantes a trozos | matematicasVisuales Funciones continuas lineales a trozos | matematicasVisuales Funciones lineales a trozos no continuas | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (1): Funciones exponenciales | matematicasVisuales
Exponenciales y Logaritmos (2): Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (3): Una propiedad de la integral de la hipérbola | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (4): El logaritmo de un producto | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (5): Aproximación del número e | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (6): Dos definiciones del número e | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo | matematicasVisuales Exponenciales y Logaritmos (8): Hipérbolas, logaritmos y exponenciales | matematicasVisuales
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales Desintegración radioactiva | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (1): función exponencial | matematicasVisuales Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (2): función seno | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (4): función racional 1 | matematicasVisuales
Polinomios de Taylor (5): función racional 2 | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales | matematicasVisuales


Sucesiones y series
Sucesiones o progresiones geométricas | matematicasVisuales
Representación gráfica de progresiones geométricas. Suma de los términos de una sucesión geométrica. Series geométricas.
Suma de la serie geométrica de razón 1/4 | matematicasVisuales
Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
Suma de la serie geométrica de razón 1/2 | matematicasVisuales
La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
Convergencia de Series: el criterio de la integral | matematicasVisuales
A partir de una función positiva decreciente podemos definir series y aplicar el test de la integral. El test de la integral es un criterio que nos puede ayudar a decidir si una serie converge o diverge. Además, si la serie converge nos dará cotas.
Gamma, la constante de Euler | matematicasVisuales
La constante de Euler se define como una serie convergente.

Funciones polinómicas y potencias
Funciones polinómicas (1): funciones afines | matematicasVisuales
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos) | matematicasVisuales
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas | matematicasVisuales
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas | matematicasVisuales
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange | matematicasVisuales
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

Funciones Racionales
Funciones racionales (1): Funciones racionales lineales | matematicasVisuales
Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
Funciones racionales (2): el denominador es un polinomio de grado 2 | matematicasVisuales
Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).
Funciones racionales (3): Asíntota oblicua | matematicasVisuales
Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.
Funciones racionales (4): Comportamiento asintótico | matematicasVisuales
Podemos añadir un polinomio a una función racional propia. El comportamiento asintótico de esta función racional será muy parecido al del polinomio.

Funciones polinómicas y derivada
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines | matematicasVisuales
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas | matematicasVisuales
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas | matematicasVisuales
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

Integral
Integral definida | matematicasVisuales
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Integral indefinida | matematicasVisuales
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Las funciones monótonas son integrables | matematicasVisuales
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral de funciones potencia | matematicasVisuales
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Funciones polinómicas e integral
Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines | matematicasVisuales
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.

El Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo (1) | matematicasVisuales
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo (2) | matematicasVisuales
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).

Funciones definidas a trozos
Funciones lineales a trozos. El caso más sencillo: un segmento | matematicasVisuales
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Funciones constantes a trozos | matematicasVisuales
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Funciones continuas lineales a trozos | matematicasVisuales
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Funciones lineales a trozos no continuas | matematicasVisuales
En general, las funciones lineales a trozos no son continuas. Hay puntos en los que un pequeño cambio en la x produce un salto en el valor de la función.

Exponenciales y logaritmos
Exponenciales y Logaritmos (1): Funciones exponenciales | matematicasVisuales
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Exponenciales y Logaritmos (2): Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales
Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.
Exponenciales y Logaritmos (3): Una propiedad de la integral de la hipérbola | matematicasVisuales
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Exponenciales y Logaritmos (4): El logaritmo de un producto | matematicasVisuales
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Exponenciales y Logaritmos (5): Aproximación del número e | matematicasVisuales
El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1. Partiendo de esta definición podemos aproximar su valor.
Exponenciales y Logaritmos (6): Dos definiciones del número e | matematicasVisuales
El número e, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como una integral o como el límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto. Ambas definiciones coinciden.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo | matematicasVisuales
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Exponenciales y Logaritmos (8): Hipérbolas, logaritmos y exponenciales | matematicasVisuales
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Desintegración radioactiva | matematicasVisuales
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.

Polinomios de Taylor
Polinomios de Taylor (1): función exponencial | matematicasVisuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Polinomios de Taylor (2): función seno | matematicasVisuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada | matematicasVisuales
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1 | matematicasVisuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2 | matematicasVisuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades | matematicasVisuales
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales | matematicasVisuales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.