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Dada una función y dos números reales, a and b (estos dos números se llaman límites de integración), podemos escribir la integral definida como

Polinomios e integral: integral definida  | matematicasVisuales

Su significado intuitivo es el área entre el eje de abcisas (eje de las x), el gráfico de la función y las líneas verticales x = a y x = b. En algunos casos el área se considera positiva y en otros será negativa. Veremos algunos ejemplos más adelante.

INTEGRAL INDEFINIDA

Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de integración b entonces podemos definir una nueva función

Polinomios e integral: función integral  | matematicasVisuales

Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior. La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)

Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.

El objetivo de esta página es jugar con estas ideas en el caso más simple de las funciones afines. Una función afín es un polinomio de grado igual o menor que 1 y sus gráficos son líneas rectas.

Podemos empezar con las funciones constantes (líneas horizontales). Consideramos a las funciones constantes como polinomios de grado 0.

En el siguiente ejemplo el área está sobre el eje x y, por lo tanto, el área (la integral) es positiva.

Polinomios e integral, funciones afines: área positiva | matematicasVisuales

En este otro caso el área está por debajo del eje de abcisas, entonces el área (la integral) es negativa.

Polinomios e integral, funciones afines: área negativa | matematicasVisuales

La integral de una función constante (un polinomio de grado 0) es una línea recta, es decir, un polinomio de grado 1. (La función constante f(x)=0 es una excepción). Es fácil calcularla pues se trata de calcular áreas de rectángulos.

Si cambiamos el valor de la función constante podemos ver cómo la integral cambia, pero lo que cambia es la pendiente de la recta que representa su integral.

Si cambiamos el límite inferior de integración (el punto azul claro) podemos ver cómo la recta que representa la integral se mueve arriba y abajo.

Polinomios e integral, funciones afines: cambiando el límite inferior de integración | matematicasVisuales

Cuando consideramos una función afín general es también muy fácil calcular su función integral. En estos casos las áreas que hay que calcular son triángulos o trapecios. Hay que tener en cuenta que algunas áreas son positivas y otras negativas:

Polinomios e integral, funciones afines: integrando una función afín, áreas positivas y negativas | matematicasVisuales

En el caso de las funciones afines (rectas) es muy sencillo calcular una integral indefinida. Decimos que las funciones afines son integrables.

La función integral de una función afín (de un polinomio de grado 1) es una parábola (un polinomio de grado 2). Al hacer esta operación de integración el resultado es un polinomio de un grado mayor.

Polinomios e integral, funciones afines: la función integral de una función afín es un polinomio de grado 2 | matematicasVisuales

Si cambiamos el límite inferior de integración, la función integral (la parábola) sube o baja pero no cambia su forma. (¿Por qué?)

Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).

Polinomios e integral, funciones afines: si cambiamos el límite inferior de integración la función integral (la parábola) sube o baja | matematicasVisuales

La función integral e una función constante (un polinomio de grado 0) es un polinomio de grado 1. La función integral de un polinomio de grado 1 es un polinomio de grado 2. Cuando integramos estas funciones el resultado es un polinomio de grado uno más que la función original.

Recordamos que cuando derivamos una función afín el resultado tiene un grado menos que la función original.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Vamos a estudiar el valor medio de una función en este caso simple de las funciones lineales.

El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] viene dado por

Funciones lineales: valor intermedio de una función| matematicasVisuales

La fórmula parece muy complicada pero el concepto es sencillo.

La idea es que el área de la función (positiva o negativa) ...

Funciones lineales: valor intermedio de una función| matematicasVisuales

... es igual que el área de un rectángulo cuya altura es el valor medio.

Funciones lineales: valor intermedio de una función| matematicasVisuales

Puesto que las funciones lineales son continuas, son un caso especial del Teoerema del valor medio para integrales: Si f(x) es una función continua sobre un intervalo [a,b] entonces existe un valor c en [a,b] tal que

Funciones lineales: valor intermedio de una función| matematicasVisuales
Funciones lineales: valor intermedio de una función| matematicasVisuales

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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