Dada una función y dos números reales, a and b (estos dos números se llaman límites de integración), podemos escribir la integral
definida como
Su significado intuitivo es el área entre el eje de abcisas (eje de las x), el gráfico de la función y las líneas verticales x = a y x = b.
En algunos casos el área se considera positiva y en otros será negativa. Veremos algunos ejemplos más adelante.
INTEGRAL INDEFINIDA
Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de
integración b entonces podemos definir una nueva función
Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior.
La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de
la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)
Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.
El objetivo de esta página es jugar con estas ideas en el caso más simple de las funciones afines.
Una función afín es un polinomio de grado igual o menor que 1 y sus gráficos son líneas rectas.
Podemos empezar con las funciones constantes (líneas horizontales). Consideramos a las funciones constantes como polinomios de grado 0.
En el siguiente ejemplo el área está sobre el eje x y, por lo tanto, el área (la integral) es positiva.
En este otro caso el área está por debajo del eje de abcisas, entonces el área (la integral) es negativa.
La integral de una función constante (un polinomio de grado 0) es una línea recta, es decir, un polinomio de grado 1. (La función constante
f(x)=0 es una excepción). Es fácil calcularla pues se trata de calcular áreas de rectángulos.
Si cambiamos el valor de la función constante podemos ver cómo la integral cambia, pero lo que cambia es la pendiente de la recta que representa su integral.
Si cambiamos el límite inferior de integración (el punto azul claro) podemos ver cómo la recta que representa la integral se mueve arriba y abajo.
Cuando consideramos una función afín general es también muy fácil calcular su función integral. En estos casos las áreas que hay que calcular son
triángulos o trapecios. Hay que tener en cuenta que algunas áreas son positivas y otras negativas:
En el caso de las funciones afines (rectas) es muy sencillo calcular una integral indefinida. Decimos que las funciones afines son integrables.
La función integral de una función afín (de un polinomio de grado 1) es una parábola (un polinomio de grado 2). Al hacer esta operación de integración
el resultado es un polinomio de un grado mayor.
Si cambiamos el límite inferior de integración, la función integral (la parábola) sube o baja pero no cambia su forma. (¿Por qué?)
Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral
pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).
La función integral e una función constante (un polinomio de grado 0) es un polinomio de grado 1. La función integral de un polinomio de grado 1 es
un polinomio de grado 2. Cuando integramos estas funciones el resultado es un polinomio de grado uno más que la función original.
Recordamos que cuando derivamos una función afín el resultado tiene un grado menos que la función original.
Vamos a estudiar el valor medio de una función en este caso simple de las funciones lineales.
El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] viene dado por
La fórmula parece muy complicada pero el concepto es sencillo.
La idea es que el área de la función (positiva o negativa) ...
... es igual que el área de un rectángulo cuya altura es el valor medio.
Puesto que las funciones lineales son continuas, son un caso especial del Teoerema del valor medio para integrales: Si f(x)
es una función continua sobre un intervalo
[a,b] entonces existe un valor c en [a,b] tal que
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
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