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Después de estudiar algunas ideas sobre la integral de funciones afines y funciones cuadráticas, vamos a ver las mismas ideas básicas aplicadas a las funciones polinómicas de cualquier grado.

Un método interesante de generar funciones polinómicas es usar los polinomios de interpolación de Lagrange. Cuando hemos visto las derivadas de funciones polinómicas ya hemos usado estos polinomios de Lagrange.

Nuestro objetivo es comprender mejor el comportamiento de diferentes funciones polinómicas en relación con la integración.

Calcular la integral de una parábola es un problema relacionado con el cálculo de un área. El problema de calcular el área de un segmento parábola fue resuelto genialmente por Arquímedes.

El foco cambió cuando los matemáticos se plantearon calcular el área bajo el gráfico de una función. Esto llevó al uso (y después a la definición) del concepto de integral.

Siguiendo a Leibniz, usamos este símbolo para representar la integral:

Polinomios e integral: notación integral, signo integral | matematicasVisuales

el problema es calcular un área bajo la gráfica de una función polinómica.

Por ejemplo, una función polinómica de grado 3:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general):  una función polinómica de grado 3 | matematicasVisuales

Otro ejemplo, una función polinómica de grado 4:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general):  una función polinómica de grado 4 | matematicasVisuales

Otro ejemplo más, una función polinómica de grado 5:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general):  una función polinómica de grado  5 | matematicasVisuales

Para calcular una integral consideramos algunas áreas positivas y otras negativas:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): áreas positivas y negativas | matematicasVisuales

Este problema para el caso sencillo de funciones polinómicas estaba casi resuelto en tiempos de Cavalieri (quien pudo calcular la integral de varias funciones potencia).

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): Cavalieri calculó la integral de varias funciones potencia | matematicasVisuales

Un modo importante de abordar este problema es usar rectángulos para aproximar el área y tomar el límite cuando las bases de estos rectángulos tienden a cero. Cuando este concepto se define formalmente hablamos de la integral de Riemann.

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): integral de Riemann | matematicasVisuales

INTEGRAL INDEFINIDA

Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de integración b entonces podemos definir una nueva función

Polinomios e integral: función integral  | matematicasVisuales

Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior. La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)

Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.

En esta aproximación intuitiva vamos a usar rectángulos de bases iguales solamente para simplificar. Podemos ver cómo usando rectángulos aproximamos el área (en el ejemplo la función es un polinomio de grado 3 pero nosotros podemos practicar con funciones polinomicas de diferentes grados):

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): aproximando la integral usando rectángulos | matematicasVisuales

Si tomamos dos valores diferentes para la altura de estos rectángulos obtenemos dos aproximaciones diferentes del área:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): dos aproximaciones de la integral usando rectángulos | matematicasVisuales

Si usamos más y más rectángulos, con las bases cada vez más pequeñas, las aproximaciones son cada vez mejores:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): si usamos más rectángulos las aproximaciones mejoran | matematicasVisuales

No siempre es posible calcular la integral de una función. Si podemos calcular la integral indefinida de una función decimos que es una función integrable. Las funciones polinómicas son funciones integrables.

Una función integral de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n+1.

Por ejemplo, la función integral de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 4:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): la función integral de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 4 | matematicasVisuales

Si la función es un polinomio de grado 4, la función integral es un polinomio de grado 5:

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): la función integral de un polinomio de grado 4 es un polinomio de grado 5 | matematicasVisuales

Si cambiamos en límite inferior de integración, la función integral sube y baja pero no cambia de forma. (¿Por qué?).

Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).

Polinomios e integral, polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general): Si cambiamos en límite inferior de integración, la función integral sube y baja pero no cambia de forma | matematicasVisuales

Cuando integramos un polinomio de grado 1 obtenemos un polinomio de grado 2 y si integramos un polinomio de grado 2 obtenemos un polinomio de grado 3. Cuando integramos un polinomio el resultado es un polinomio de grado uno más que el de la función original.

Recordamos que cuando derivamos una función polinómica general el resultado es otra función polinómica de grado uno menos que la función original.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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