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Conociendo el resultado, es decir, el área de la elipse, Arquímedes consideró un círculo secundario con la misma área que la elipse.

Arquímedes elipse: círculo secundario con la misma área que la elipse | matematicasVisuales

El radio de este círculo es:

Arquímedes quería probar que el área de la elipse es igual al área de este círculo secundario.

Arquímedes consideró un polígono similar a P', inscrito en el círculo auxiliar C'.

Arquímedes elipse: Polígono inscrito en el círculo secundario similar al polígono inscrito el el círculo auxiliar | matematicasVisuales

La relación entre las áreas de estos dos polígonos semejantes es:

Arquímedes comienza su doble reducción al absurdo.

item | matematicasvisuales Si fuera posible, sea el área del círculo secundario mayor que el ára de la elipse

Arquímedes elipse: fórmula 1 | matematicasVisuales

"Podemos entonces inscribir en el círculo secundario un polígono equilátero de 4n lados tal que su área es mayor que el de la elipse" [cf. De la esfera y el cilindro, I. 6.]" (Arquímedes)

Entonces

Arquímedes elipse: fórmula 2 | matematicasVisuales

Entonces podemos consiederar un polígono similar en el círculo auxiliar y el correspondiente polígono en la elipse.

"Supongamos que P' denota el área de del polígono inscrito en el círculo auxiliar, y P el área del polígono inscrito en la elipse" (Archimedes)

Sabemos que

Arquímedes elipse: fórmula 1 bis | matematicasVisuales
Arquímedes elipse: fórmula 2 bis | matematicasVisuales

Entonces

"Pero esto es imposible, porque el primer polígono es por hipótesis mayor que la elipse, y, con mayor motivo, mayor que P.

Arquímedes elipse: contradicción 1 | matematicasVisuales

Por lo tanto el círculo secundario no es mayor que la elipse." (Arquímedes)

item | matematicasvisuales Si fuera posible, supongamos que el círculo secundario es menor que la elipse.

Arquímedes elipse: reductio 2 hipótesis | matematicasVisuales

En este caso inscribimos en la elipse un polígono P con 4n lados iguales tal que

Arquímedes elipse: reductio 2 | matematicasVisuales

Arquímedes considera el polígono P' inscrito en el círculo auxiliar y un polígono semejante inscrito en el círculo secundario.

Como antes

lo cual es imposible.

Arquímedes elipse: contradicción 2 | matematicasVisuales

Esto completa la demostración por doble reducción al absurdo.

"Por lo tanto el círculo secundario, como no puede ser ni mayor ni menor que le elipse es igual a ella; y obtenemos el resultado requerido." (Arquímedes)

"En esencia, Arquímedes ha dado simplemente una prueba rigurosa por exhausción del hecho intuitivamente evidente de que el área de la elipse es b/a veces el área Area of a circle of radius a | matematicasVisuales de su círculo auxiliar, esto se corresponde con la observación de que el círculo se transofrma en la elipse comprimiendo su dimensión vertical por el factor b/a." (C. H. Edwards)

REFERENCIAS

C.H. Edwards - The Historical Development of the Calculus (pag. 40-42) - Springer-Verlag New York Inc.
Archimedes - On Conoids and Spheroids -- The Works of Archimedes edited by T.L. Heath - Dover Publications, Inc.

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