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En esta página vamos a estudiar un instrumento mecánico que se usaba para dibujar elipses. Actualmente todavía se emplea para cortar elipses en diferentes materiales, por ejemplo, para hacer mesas elípticas.

Su nombre es "elipsógrafo" o "compás elíptico".

En inglés se conoce con el nombre de "Trammel" de Arquímedes. Es curioso investigar el origen de esta palabra. Su significado es "restricción", algo que impide una actividad, una limitación de la libertad. Está relacionada con red para pescar y proviene del latín. De su misma raíz es la palabra trasmallo (en aragonés, tresmallo) que utilizamos para nombrar una red para pescar (que puede ser que en su origen tuviera tres capas). Sorprendente evolución de una palabra que se usa en inglés para designar un aparato mecánico que dibuja elipses.

El siguiente dibujo es una representación clásica de este aparato que se puede ver en el libro 'Mathematical Models' de Cundy y Rollet.

Elipsografo, trammel de Arquímedes: imagen de Cundy and Rollet | matematicasVisuales
Dibujo clásico del elipsógrafo que se puede ver en el libro 'Mathematical Models' de Cundy y Rollet.

Este dispositivo mecánico se puede presentar de varias formas. Se trata de conseguir dos ranuras rectas y perpendiculares, lo que se puede hacer colocando sobre una base cuatro piezas triangulares o cuadrangulares. En estas ranuras se deslizan dos piezas que tienen fijada una varilla que puede girar conforme se desplazan las dos piezas sobre las ranuras.

El extremo de la varilla (de hecho, cualquier punto de la varilla) va a describir una elipse. Modificando la distancia entre los puntos de unión de la varilla con las piezas deslizantes obtenemos diferentes elipses.

Los dos deslizadores tienen los movimientos restringidos (de ahí la palabra 'trammel' en inglés) por las ranuras y al estar unidos a la varilla.

Lo que queremos comprobar es que el punto P describe una elipse.

Elipsografo, trammel de Arquímedes: dibujando elipses | matematicasVisuales

Ya sabemos algunas propiedades de la elipse que han sito tratadas en otras páginas de matemáticasVisuales.

La elipse y sus focos
Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.
Ecuación de la elipse
Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.
Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

Para calcular las coordenadas del punto P usaremos esta notación y un poco de trigonometría:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: notación | matematicasVisuales
Elipsografo, trammel de Arquímedes: notación | matematicasVisuales

Entonces la coordenada X del punto es:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: coordinada X del punto P | matematicasVisuales

Y la coordenada Y del punto es:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: coordenada Y del punto P | matematicasVisuales

Las coordenadas del punto P son, por lo tanto:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: coordenadas del punto P, verifican ecuación elipse | matematicasVisuales

Sus coordenadas verifican la fórmula (en forma implícita) de la elipse:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: ecuación implícita de una elipse | matematicasVisuales

Los semiejes de el elipse son a y b, es decir, las distancias del extremo de la varilla y las dos piezas deslizantes.

Elipsografo, trammel de Arquímedes: semi eje de una elipse | matematicasVisuales
Elipsografo, trammel de Arquímedes: semi eje de una elipse | matematicasVisuales

Modificando las distancias entre los puntos podemos obtener diferentes elipses:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: Modificando las distancias entre los puntos podemos obtener diferentes elipses | matematicasVisuales

Este principio se usó para diseñar aparatos que dibujaran elipses que se llaman elipsógrafos.

El siguiente ejemplo pertenece a la colección del Museo Nacional de Ciencia y Tecnología, actualmente esta expuesto en el Museo Naval de Madrid y es el aparato que ha inspirado esta página:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: Ellipsograph in the Museo Nacional de Ciencia y Tecnología Madrid | matematicasVisuales
Elipsoide de la colección del Museo Nacional de Ciencia y Tecnología, (Madrid). La foto está tomada en el Museo Naval de Madrid.

Cualquier punto de la varilla describe una elipse, como puede verse en la siguiente aplicación interactiva:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: Each point in the rod draws an ellipse | matematicasVisuales

Cuando el punto P que dibuja se encuentra entre los dos puntos deslizantes también se generan elipses:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: También se obtienen elipses cuando el punto P está entre las piezas deslizantes | matematicasVisuales
Elipsografo, trammel de Arquímedes: Elipse con P entre pivotes | matematicasVisuales

Incluso podemos dibujar una circunferencia como un caso particular de elipse:

Elipsografo, trammel de Arquímedes: la circunferencia es un caso particular de elipse | matematicasVisuales

En próximas páginas estudiaremos estos casos, veremos que el segmento envuelve una curva que llamamos astroide y que tiene cuatro cúspides. La astroide aparece también como envolvente de las elipses y es un caso particular de hipocicloide.

En fin, que el elipsógrafo es un aparato que tiene mucho interés matemático y ha jugado su papel en la Historia de la Ciencia y la Técnica.

REFERENCIAS

Tom Apostol and Mamikon Mnatsakanian, 'New Horizons in Geometry' (Chapter 9. Trammels), Mathematical Association of America, 2012.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
Hilbert and Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.278.
Robert C. Yates, 'A Handbook on curves and their properties', J.W.Edwards-Ann Arbor, 1947.
J.L. Coolidge, The Mathematics of great Amateurs. Second Edition. Claredon Press. Oxford. Demostración de Jan de Witt en página 124.
Historical Mechanisms for Drawing Curves by Daina Taimina. Contiene una demostración de With De Witt sobre el elipsógrafo, justificando que dibuja una elipse.

MÁS ENLACES

Astroide como envolvente de segmentos y elipses
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