Arquímedes obtiene una elipse estrechando un círculo a lo largo de una dirección.
Entonces Arquímedes deduce el área de una elipse
generalizando la fórmula del área del círculo.
A partir de la ecuación implícita de una circunferencia
podemos deducir la ecuación de una elipse.
Cuando deformamos una circunferencia, cada punto de la circunferencia va a parar a un punto de una elipse. Entonces si un punto P
con coordenadas (x,y) está en la elipse E entonces su correspondiente punto está sobre la circunferencia C.
Usando la ecuación implícita de una circunferencia y las coordeandas de esos puntos correspondientes en la circunferencia podemos
escribir:
Dividiendo por a al cuadrado obtenemos la ecuación implícita de la elipse:
La circunferencia es un caso especial de elipse (cuando a = b).
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En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.
Si un segmento de longitud fija se mueve de modo que sus extremos están en dos rectas perpendiculares, cualquier punto del segmento traza una elipse.
La sección de un cilindro por un plano que corta al eje del cilindro en un punto es una elipse. Probamos este resultado usando las esferas de Dandelin.
Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.
Durero nos mostró un método excelente para dibujar elipses pero cometió un pequeño error. La intuición parece decirnos que la sección de un cono tiene forma de huevo. Podemos probar, usando conceptos básicos, que la elipse tiene dos ejes de simetría.
La astroide es la envolvente de un segmento de longitud constante cuyos extremos se mueven sobre dos rectas perpendiculares. También es la envolvente de una familia de elipses con la propiedad de que la suma de sus ejes es constante.
La astroide es un caso particular de una familia de curvas que llamamos hipocicloides.
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
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