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En su libro 'Sobre conoides y esferoides', Arquímedes calcula el área de una elipse (Proposición 4)

Cuando contraemos verticalmente una circunferencia obtenemos una elipse. Una elipse tiene un semieje mayor y un semieje menor.

Arquímedes, semiejes mayor y menor de una elipse | matematicasVisuales

La fórmula del área de una elipse es una generalización de la fórmula del area de un círculo. El área de una elipse con semiejes mayor y menor a y b es:

En primer lugar vamos a deducir esta fórmula usando una aproximación intuitiva. Esta aproximación intuitiva tendrá que ser demostrada rigurosamente después. Arquímedes tiene clara esta distinción entre el 'Método' de descubrir resultados y una prueba rigurosa de un teorema. Podemos ver un ejemplo del 'Método' de Arquímedes en Arquímedes: el área de un segmento parabólico.

Una vez que obtenido el resultado veremos cómo Arquímedes lo demostró.

La circunferencia de radio a, circunscrita a la elipse se llama su circunferencia auxiliar. Si estrechamos verticalmente la circunferencia obrenemos la elipse. Un punto m in la elipse verifica la relación:

Arquímedes y la elipse: trapezoides y triángulos | matematicasVisuales

Arquímedes consideró algunos polígonos inscrito en la elipse y en la circunferencia auxiliar. Estos polígonos tienen un número de lados múltiplo de 4 y con dos vértices en los extremos del diámetro horizontal.

El polígono, P', inscrito en la circunferencia es un polígono regular y P es el polígono inscrito en la elipse E cuyos vértices son las intersecciones con E de las perpendiculares desde los vértices de P' al eje horizontal de E. Podemos considerar estos polígonos como uniones de triángulos y trapezoides. Debido a la compresión tenemos la relación:

Entonces las dos áreas de estos polígonos P y P' están en la misma proporción:

Arquímedes y la elipse: Poligonos inscritos en la circunferencia y la elipse | matematicasVisuales

Pero estos polígonos pueden tener tantas caras como queramos y pueden tener sus áreas tan parecidas a las del círculo y la elipse como queramos, entonces podemos aceptar que: (porque 'casi llenan' el círculo y la elipse)

Arquímedes y la elipse: elipse y su circunferencia auxiliar | matematicasVisuales

Entonces obtenemos la fórmula del área de la elipse:

Si nuestra intuición es correcta, esta es la fórmula del área de una elipse. Usando el zoon sobre el mathlet podemos ver que la aproximación es muy buena pero que el polígono nunca llena ni la elipse ni el círculo

Arquímedes y la elipse: polígonos como aproximaciones | matematicasVisuales

Esta es una aproximación muy interesante pero Arquímedes necesitaba una prueba lógica y rigurosa. Su demostración no es un ejemplo del uso de la técnica de exhaución de Eudoxo con polígonos inscritos y excritos sino un buen ejemplo del uso típico que hizo Arquímedes de la doble reducción al absurdo.

REFERENCIAS

C.H. Edwards - The Historical Development of the Calculus (pag. 40-42) - Springer-Verlag New York Inc.
Archimedes - On Conoids and Spheroids -- The Works of Archimedes edited by T.L. Heath - Dover Publications, Inc.

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