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Ya hemos estudiado el elipsógrafo o "trammel" de Arquímedes. Es un aparato que consiste en una varilla que se mueve de modo que dos puntos determinados están sobre dos líneas perpendiculares.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.

Ya sabemos que cada punto de esa varilla describe una elipse.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses (2)
Si un segmento de longitud fija se mueve de modo que sus extremos están en dos rectas perpendiculares, cualquier punto del segmento traza una elipse.

Si consideramos la envolvente de un segmento de longitud constante que se mueve con sus extremos sobre dos rectas perpendiculares (una escalera que se desliza apoyada sobre el suelo y una pared vertical) el resultado es una curva que tiene cuatro cúspides y que se llama astroide.

También hemos visto que la astroide es la envolvente de una familia de elipses que tienen la propiedad de que la suma de sus ejes es una constante (la longitud del segmento móvil).

Astroide como envolvente de segmentos y elipses
La astroide es la envolvente de un segmento de longitud constante cuyos extremos se mueven sobre dos rectas perpendiculares. También es la envolvente de una familia de elipses con la propiedad de que la suma de sus ejes es constante.

Pero la astroide se suele definir de otro modo. Se define la astroide como el lugar geométrico de un punto P en una circunferencias que rueda sin deslizar dentro de una circunferencia que tiene el radio cuatro veces mayor.

Por esta manera de generar la astroide decimos que es un tipo de hipocicloide. Una hipocicloide es una curva plana generada por un punto fijo en una circunferencia que rueda dentro de otra circunferencia mayor.

Si la circunferencia pequeña tiene radio r y la grande tiene radio 4r la curva tiene cuatro cúspides. Se parece a la envolvente de la "escalera que se desliza", del "trammel" de Arquímedes. Pero, ¿es la misma curva?. Tenemos que probarlo (siguiendo a Apostol y Mnatsakanian) y usaremos razonamientos elementales.

El punto P rueda sin deslizar. Los dos arcos circulares CL y CP tienen la misma longitud. El ángulo central de la circunferencia pequeña es cuatro veces el ángulo central de la circunferencia grande (porque el radio de la grande es cuatro veces el de la pequeña).

La astroide es una hipocicloide: algunos ángulos | matematicasVisuales

¿Cómo podemos dibujar la tangente a la astroide por P?. Queremos probar que el segmento AB tiene una longitud fija. Si podemos mostrar que la longitud de AB no cambia conforme P se mueve describiendo la astroide, entonces habremos probado que AB es la varilla del elipsógrafo (un "trammel").

La astroide es una hipocicloide: la recta tangente | matematicasVisuales

M es el punto medio de OC. La recta AB dibujada por PM, perpendicular a CP, es también tangente a la astroide por P porque C es el centro de rotación instantánea de la circunferencia pequeña al rodar dentro de la circunferencia grande.

La astroide es una hipocicloide: centro instantáneo de rotación | matematicasVisuales

Para probar que la longitud de AB no varía conforme P se mueve a lo largo de la astroide podemos mostrar que M es también el punto medio de AB, y que el triángulo OMA es isósceles.

Usando la propiedad de los ángulos central e inscritos:

Ángulos central e inscrito en una circunferencia
Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.

La astroide es una hipocicloide: propiedad de los ángulos central e inscrito | matematicasVisuales

Una recta horizontal a través de M biseca el ángulo CMA como se muestra aquí:

La astroide es una hipocicloide: más ángulos | matematicasVisuales

Entonces el triángulo OMB es isósceles:

La astroide es una hipocicloide: un triángulo isósceles | matematicasVisuales

El triángulo OMA es también isósceles. Entonces AB tiene una longitud fija, y ya hemos visto que es siempre tangente a la astroide.

La astroide es una hipocicloide: The envelope of a moving trammel os fixed length is an astroid | matematicasVisuales

Y así concluyen Apostol y Mnatsakanian este apartado: "La envolvente de un 'trammel' (de la varilla de un elipsógrafo) de longitud fija es una astroide".

La astroide es una hipocicloide: La envolvente de un trammel (de la varilla de un elipsógrafo) de longitud fija es una astroide | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tom Apostol and Mamikon Mnatsakanian, 'New Horizons in Geometry' (Chapter 9. Trammels, ), Mathematical Association of America, 2012.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
Hilbert and Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.278.
Robert C. Yates, 'A Handbook on curves and their properties', J.W.Edwards-Ann Arbor, 1947.
J.L. Coolidge, The Mathematics of great Amateurs. Second Edition. Claredon Press. Oxford. Jan de Witt's proof in page 124.
Historical Mechanisms for Drawing Curves by Daina Taimina. With De Witt's proof why the trammel describes an ellipse.

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