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Ya hemos estudiado el elipsógrafo (o "Trammel" de Arquímedes) y sabemos que cualquier punto de la varilla que se mueve traza una elipse.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.

En esta página nos vamos a fijar sólamente en el segmento de longitud fija cuyos extremos se mueven a lo largo de dos ejes perpendiculares. A veces pensamos en esta situación como si fuera una escalera de mano que se desliza apoyada en una pared y el suelo.

Siguiendo a Tom Apostol y a Mnatsakanian vamos a ver otra demostración de que cada punto del segmento dibuja una elipse.

Vamos a empezar por el caso más sencillo: el punto medio del segmento M traza una circunferencia:

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

Consideramos las coordenadas del punto medio M de un segmento de longitud 2m.

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales
Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

OM y las dos perpendiculares desde M a los ejes dividen el triángulo rectángulo grande en cuatro triángulos rectángulos congruentes más pequeños, entonces:

El punto M, conforme se mueve el segmento, traza una circunferencia con centro O y radio m.

Las coordenadas de M cumplen:

Esta es la ecuación cartesiana de una circunferencia.

Podemos escribir esta ecuación para destacar que la circunferencia es un caso especial de elipse:

Un poco más adelante volveremos a usar esta ecuación.

Consideremos ahora otro punto Q del segmento

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

Q divide al segmento en dos partes de longitud a y b.

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

Usando semejanza de triángulos podemos relacionar las coordenadas de Q con las del punto medio M:

Usando la fórmula de la circunferencia como caso particular de elipse

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

podemos probar que las coordenadas de Q cumplen la ecuación

y, por lo tanto, el punto Q describe una elipse.

Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales
Elipsografo, trammel de Arquímedes, un aparato para dibujar elipses: drawing ellipses | matematicasVisuales

Este mismo razonamiento sirve para cualquier punto Q del segmento (incluso si Q está en la recta, fuera del segmento).

En todos los casos:

Los semiejes de la elipse son las distancias desde Q a los extremos del segmento.

REFERENCIAS

Tom Apostol and Mamikon Mnatsakanian, 'New Horizons in Geometry' (Chapter 9. Trammels), Mathematical Association of America, 2012.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
Hilbert and Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.278.
Robert C. Yates, 'A Handbook on curves and their properties', J.W.Edwards-Ann Arbor, 1947.
J.L. Coolidge, The Mathematics of great Amateurs. Second Edition. Claredon Press. Oxford. Jan de Witt's proof in page 124.
Historical Mechanisms for Drawing Curves by Daina Taimina. With De Witt's proof why the trammel describes an ellipse.

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