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Alberto Durero (1471-1528) fue un pintor y grabador. En 1525 publicó el primer libro de Matemáticas en alemán, los "Cuatro libros de la Medida" o "Curso en el Arte de la Medida con regla y compás". (Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt).

Entre otras muchas cosas, nos presenta la primera discusión en alemán sobre las secciones cónicas.

Alberto Durero y las elipses: secciones de un cono.
Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.

Su método es original y usa vistas en planta y alzado del cono cortado por un plano oblicuo.

Durero y las secciones cónicas, elipses: simetría de las elipses | matematicasVisuales

Dejándose llevar por la intuición dibujó la curva con forma de huevo, más estrecha por arriba que por abajo. Sabemos que las elipses tienen dos ejes de simetría y no tienen forma de huevo. Este pequeño error da un poco de pena pues su método es excelente.

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El error se puede subsanar usando Matemáticas elementales. Vamos a ver que el eje menor de la elipse es un eje de simetría.



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Trata de probar el resultado antes de continuar leyendo. Se necesitan sólo Matemáticas elementales.





Durero y las secciones cónicas, elipses: simetría de las elipses | matematicasVisuales

En primer lugar, para cada punto del eje major necesitamos calcular k, el ancho de la elipse en ese punto.

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Nos puede ser útil revisar el concepto de media geomérica de dos número. He usado esa idea al estudiar la esfera.

Secciones en una esfera
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.


Ahora, consideramos dos puntos simétricos del eje mayor de la elipse.

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Debemos probar que

O, simplemente

En la siguiente imagen hay señalados dos triángulos semejantes.

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Then

Aquí podemos ver otros dos triángulos semejantes.

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Y podemos escribir

Combinando estas dos igualdades

Entonces

Y esto es lo que queríamos probar.

REFERENCIAS

Erwin Panofsky, The Life and Art of Albrecht Dürer.
C. Stanley Ogilvy, Excursions in Geometry. Oxford University Press.
Tom Apostol, Calculus. John Wiley and Sons, 1967.
Dan Pedoe, Geometry and the Visual Arts. Dover Publications.
Ex Libris: Dandelin Spheres and the Conic Sections. Con un enlace al trabajo original de Germinal Pierre Dandelin.

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