matematicas visuales home | visual math home

En la posición inicial del applet podemos ver una circunferencia. Cuando movemos el cursor vertical cambia la posición de una cuerda.

Queremos calcular el valor del segmento a cuando modificamos la posición vertical (x):

Secciones en una esfera y media geométrica: triángulo rectángulo y radio sección | matematicasVisuales

Nuestro objetivo es calcular la superficie de una sección de la esfera cuando cambiamos la distancia desde el centro de la esfera a la sección. Podemos ver la esfera pulsando y arrastrando sobre la esfera en el applet.

Sections in a sphere and Geometric mean: superficie de una sección de la esfera | matematicasVisuales

Usando el teorema de Pitágoras podemos calcular el radio de la sección:

Secciones en una esfera y media geométrica: radio de la sección de la esfera | matematicasVisuales

Entonces el área de la sección de la esfera es:

Secciones en una esfera y media geométrica: calculando la superficie de una sección de la esfera | matematicasVisuales

Ya hemos conseguido nuestro objetivo, pero podemos usar otro camino para calcular el radio a sin usar el teorema de Pitágoras. Podemos usar conceptos más básicos, como la semejanza de triángulos y, de paso, hablar de la media geométrica de dos números positivos.

Secciones en una esfera y media geométrica: semejanza de triángulos y teorema de la altura de triángulos rectángulos | matematicasVisuales

En la ilustración podemos ver tres triángulos rectángulos que son semejantes. Estamos interesados en dos de ellos:

Podemos escribir una proporción pensando en que queremos obtener el valor de a:

Entonces, el valor de a es:

Decimos que a es la media geométrica de dos números, b y c. Este resultado también se conoce como el Teorema de la altura de un triángulo rectángulo.

La media geométrica de dos números positivos está relacionada con la media aritmética:

Secciones en una esfera y media geométrica: La media geométria es igual a la media aritmética cuando los dos números son iguales | matematicasVisuales

¿Puedes identificar qué segmento representa la media aritmética de dos números, b y c? ¿Cuándo son iguales la media aritmética y la geométrica?

Volviendo a nuestro objetivo inicial:

Secciones en una esfera y media geométrica: calculando el radio de una sección usando la media geométrica | matematicasVisuales

Vamos a usar este resultado en dos aplicaciones interesantes del Teorema de Cavalieri: Cómo calcular el volumen de una esfera y Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la Congruencia de Cavalieri). El primer resultado sorprendente que muestra Howard Eves en este artículo es que existe un tetraedro que tiene el mismo volumen que una esfera y que tienen las secciones correspondientes de la misma área. Aplicando el Teorema de Cavalieri se deduce el volumen de la esfera a partir del volumen del tetraedro.

Puedes jugar con estos dos applets para ver secciones en una esfera y casquetes esféricos:

Secciones en una esfera:  volumen | matematicasVisuales

Secciones en una esfera: dos casquetes esféricos | matematicasVisuales

REFERENCIAS

MÁS ENLACES

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en el tetraedro de Howard Eves
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
Cavalieri: El volumen de una esfera
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
Kepler: El área de un círculo
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
Arquímedes y el área de la elipse: demostración
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.