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Ya hemos visto que el volumen de un tetraedro (en general, no regular) que podemos obtener uniendo algunas diagonales de las caras de un paralelepípedo es un tercio el volumen de ese paralelepípedo.

En esta página vamos a ver las secciones de un tetraedro que podemos construir a partir de un paralelepípedo de base cuadrada.

En la posición inicial, el applet muestra un tetraedro regular cortado por la mitad en una sección cuadrada. Es un rompecabezas conocido que está formado por dos piezas iguales con las que hay que construir un tetraedro.

Secciones en un tetraedro: sección central de un tetraedro regular | matematicasVisuales
Secciones en un tetraedro: puzzle con sección central de un tetraedro regular | matematicasVisuales

Es fácil contruir estas dos piezas y hacer el rompecabezas con cartulina (cada pieza está formada por dos tetraedros y medio octaedro):

Secciones en un tetraedro: puzzle de dos piezas para formar un tetraedro hecho con cartulina | matematicasVisuales
Secciones en un tetraedro: desarrollo en cartulina de las dos piezas para realizar el rompecabezas del tetraedro | matematicasVisuales

Consideraremos unas secciones del tetraedro que son, en general, rectangulares. En el centro, la sección es un cuadrado.

Secciones en un tetraedro: en general, la sección es un rectángulo | matematicasVisuales
Secciones en un tetraedro: la sección central es un cuadrado| matematicasVisuales

Queremos calcular el área de estas secciones.

Partimos de un tetraedro dentro de un prisma recto de base cuadrada:

Secciones en un tetraedro: tetraedro en un prisma recto de base cuadrada | matematicasVisuales

Si x es la distancia entre el centro y la sección:

Secciones en un tetraedro: distancia de la sección al centro | matematicasVisuales

Podemos calcular el lado a:

Secciones en un tetraedro: calculando la longitud de un lado de la sección | matematicasVisuales

Y el lado b de la sección:

Secciones en un tetraedro: calculando el otro lado de la sección | matematicasVisuales

Entonces el área de la sección es:

Secciones en un tetraedro: calculando el área de la sección | matematicasVisuales

Podemos hacer los mismos cálculos en un caso particular interesante en la página que dediamos a las secciones en el tetraedro de Howard Eves.

REFERENCIAS

Howard Eves, matemático e historiador de las Matemáticas, recibió el premio George Polya Award por el artículo Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence.

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