matematicas visuales home | visual math home

Howard Eves recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la Congruencia de Cavalieri).

En ese artículo, Eves escribe una breve reseña sobre Cavalieri (1598-1647): "Cavalieri fue uno de los matemáticos más influentes de su tiempo, y el autor de varios trabajos sobre trigonometría, geometría, óptica, astronomía y astrología. Fue de los primeros en reconocer el gran valor de los logaritmos y fue, en gran medida, responsable de su introducción en Italia. Pero su mayor contribución a las matemáticas fue un tratado, Geometria indivisibilibus, publicado por primera vez en 1635, dedicado al método de los indivisibles." (Una técnica de cálculo de áreas y volúmenes anterior a la invención del Cálculo).

"El tratado de Cavalieri sobre el método de los indivisibles no está escrito claramente y no es fácil comprender precisamente lo que Cavalieri quiere decir por 'indivisible'. Parece que un indivisible de una superficie plana dada es una cuerda de esa superficie y que una supervicie puede considerarse que está formada por infinitos indivisibles paralelos. De modo semejante, parece que un indivisible de un sólido dado es una sección plana de ese sólido y que un sólido puede considerarse formado por un conjunto de infinitos de esos indivisibles paralelos. Entonces, argumenta Cavalieri, si desplazamos cada uno de esos indivisibles paralelos de una superficie sobre su eje de modo de que extremos de los indivisibles todavía formen una frontera continua, entonces el área de esa nueva superficie así formada es la misma que la de la superficie original, siempre que las dos superficies esten formadas por los mismos indivisibles. Un desplazamiento semejante de los miembros del conjunto de indivisibles paralelos de un sóldo dado darán lugar a otro sólido que tendrá el mismo volumen que el original." (H. Eves)

"Si aceptamos los principios de Cavalieri como intuitivamente evidentes podemos resolver muchos problemas de medida que normalmente requieren técnicas avanzadas del Cálculo. Definamos dos superficies planas que pueden ser colocadas de modo que se corten por segmentos iguales en cada miembro de la familia de líneas paralelas, o dos sólidos que pueden colocarse de modo que intersecan secciones de igual área en cada miembro de la familia de planos paralelos como congruentes Cavalieri. Para encontrar la ára desconocida de uns superficie plana, o el volumen desconocido de un sólido, lo que tenemos que encontrar es una figura con la que podamos comparar, de la que sepamos calcular el área o el volumen fácilmente y que sea congruente Cavalieri con la figura dada." (H. Eves)

Cavalieri: El volumen de una esfera
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

Uno de los propósitos del árticulo de Eves es probar algo que es difícil de creer, que existe un poliedro que es congruente Cavalieri con una esfera dada. "!Una esfera es tan redonda y un poliedro tan angular y formado por nada más que planos! Sin embargo, probaremos que existe un poliedro (en realidad, un tetraedro) que es Cavalieri congruente con la esfera dada." (H. Eves)

Ya hemos visto que las áreas de las secciones de la esfera son:

Secciones en una esfera
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.

Sorprendente congruencia Cavalieri entre un tetraedro y una esfera dada:  cálculo de la superficie de una sección de una esfera | matematicasVisuales

Las correspondientes áreas del tetraedro de Eves son iguales:

Secciones en el tetraedro de Howard Eves
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
Sorprendente congruencia Cavalieri entre un tetraedro y una esfera dada: formula | matematicasvisuales
Sorprendente congruencia Cavalieri entre un tetraedro y una esfera dada: área | matematicasVisuales

El volumen del tetraedro de Howard Eves es:

Sorprendente congruencia Cavalieri entre un tetraedro y una esfera dada: área de una sección de tetraedro y de una sección de esfera | matematicasVisuales

Entonces, Eves afirma que:

"Teorema 2. Existe un tetraedro Congruente Cavalieri con una esfera dada."

Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el del tetraedro:

REFERENCIAS

MÁS ENLACES

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en un tetraedro
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado. Podemos calcular el área de esas secciones.
Secciones en una esfera
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
Kepler: El área de un círculo
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
Arquímedes y el área de la elipse: demostración
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.