Un dodecaedro regular es un poliedro que tiene doce caras que son pentágonos regulares. Es un sólido platónico conocido
desde la Antigüedad.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Leonardo da Vinci dibujó dos dodecaedros
para el libro de Luca Pacioli 'De Divina Proportione' (publicado en 1509).
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Pero fue Durero el primero en publicar desarrollos planos de poliedros. En su libro
'Underweysung der Messung' ('Cuatro Libros de la Medida', publicado en 1525) el autor dibujó desarrollos planos de los cinco sólidos platónicos y de otros poliedros
(entre ellos, varios sólidos arquimedianos).
Por ejemplo, este dodecaedro regular:
"El que Durero estuviera o no al corriente del trabajo de los dos italianos especialistas en este campo, Luca Pacioli
y Piero della Frascesca, es una cuestión abierta. Lo cierto es que (...) abordó el problema de una manera completamente independiente. Pacioli
(...) los ilustró [varios poliedros] con imágenes en perspectiva o estereográficas. Durero trató (...)[más poliedros] y, en lugar de representar
estos sólidos en perspectiva o con imágenes estereográficas, ideó un método original y, se puede decir
proto-topológico, desarrollándolos en una superficie plana de modo que sus caras formen una 'red' coherente la cual,
cuando la cortamos en papel y la plegamos y unimos adecuadamente sus caras, formará un modelo tridimensional del sólido en cuestión."
(Panofsky, p.259)
Podemos dibujar el desarrollo plano de un dodecaedro regular dibujando doce pentágonos regulares con regla y compás:
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Seis pentágonos regulares forman un pentágono mayor. Es fácil calcular la longitud de su lado si recordamos algunas propiedades de la
sección áurea, que está profundamente relacionada con el
pentágono regular:
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos ver cómo se desarrolla el dodecaedro:
Podemos jugar con sus proyecciones como hizo Durero:
Construir un dodecaedro regular con cartulina es un placer:
También se puede descargar el desarrollo del dodecaedro (y mucho más) en
la página de Furuti sobre mapas y proyecciones.
También podemos construir un dodecaedro con bandas elásticas y cartulina:
Si quieres aprender a construir poliedros con esta técnica puedes descargarte plantillas en
Construcción de poliedros, técnicas sencillas: uniendo caras con gomas.
Aprendí la siguiente construcción en el libro de Hugo Steinhaus 'Instantáneas Matemáticas':
[Como curiosidad, la mesita es una hiperelipse que construí con madera de roble]
REFERENCIAS
Erwin Panofsky - The Life and Art of Albrecht Dürer - Princeton University Press
Dan Pedoe - Geometry and the Liberal Arts - St. Martin's Press (p. 76)
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition (p. 197)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961 (p. 87).
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
MÁS ENLACES
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Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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