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Un dodecaedro regular es un poliedro que tiene doce caras que son pentágonos regulares. Es un sólido platónico conocido desde la Antigüedad.

El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.

Leonardo da Vinci dibujó dos dodecaedros para el libro de Luca Pacioli 'De Divina Proportione' (publicado en 1509).

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.

Pero fue Durero el primero en publicar desarrollos planos de poliedros. En su libro 'Underweysung der Messung' ('Cuatro Libros de la Medida', publicado en 1525) el autor dibujó desarrollos planos de los cinco sólidos platónicos y de otros poliedros (entre ellos, varios sólidos arquimedianos). Por ejemplo, este dodecaedro regular:

Desarrollo plano de un dodecaedro regular: En el libro de Durero Underweysung der Messung | matematicasVisuales

"El que Durero estuviera o no al corriente del trabajo de los dos italianos especialistas en este campo, Luca Pacioli y Piero della Frascesca, es una cuestión abierta. Lo cierto es que (...) abordó el problema de una manera completamente independiente. Pacioli (...) los ilustró [varios poliedros] con imágenes en perspectiva o estereográficas. Durero trató (...)[más poliedros] y, en lugar de representar estos sólidos en perspectiva o con imágenes estereográficas, ideó un método original y, se puede decir proto-topológico, desarrollándolos en una superficie plana de modo que sus caras formen una 'red' coherente la cual, cuando la cortamos en papel y la plegamos y unimos adecuadamente sus caras, formará un modelo tridimensional del sólido en cuestión." (Panofsky, p.259)

Podemos dibujar el desarrollo plano de un dodecaedro regular dibujando doce pentágonos regulares con regla y compás:

Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Desarrollo plano de un dodecaedro regular: desarrollo plano de un dodecaedro | matematicasVisuales

Seis pentágonos regulares forman un pentágono mayor. Es fácil calcular la longitud de su lado si recordamos algunas propiedades de la sección áurea, que está profundamente relacionada con el pentágono regular:

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Seis pentángonos regulares forman un pentágono mayor. Podemos calcular su lado | matematicasVisuales

Podemos ver cómo se desarrolla el dodecaedro:

Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Desarrollando un dodecaedro | matematicasVisuales

Podemos jugar con sus proyecciones como hizo Durero:

Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Jugando con las proyecciones como hizo Durero | matematicasVisuales
Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Jugando con las proyecciones como hizo Durero | matematicasVisuales

Construir un dodecaedro regular con cartulina es un placer:

Desarrollo plano de un dodecaedro regular: construcción de un dodecaedro en cartulina | matematicasVisuales
Desarrollo plano de un dodecaedro regular: desarrollo de un dodecaedro con la proyección del mundo en la página de Furuti | matematicasVisuales

También se puede descargar el desarrollo del dodecaedro (y mucho más) en la página de Furuti sobre mapas y proyecciones.

También podemos construir un dodecaedro con bandas elásticas y cartulina:

Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Dodecaedro con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales
Desarrollo plano de un dodecaedro regular: Desarrollo de un dodecaedro con cartulina y gomas elásticasr | matematicasVisuales

Si quieres aprender a construir poliedros con esta técnica puedes descargarte plantillas en Construcción de poliedros, técnicas sencillas: uniendo caras con gomas.

Aprendí la siguiente construcción en el libro de Hugo Steinhaus 'Instantáneas Matemáticas': [Como curiosidad, la mesita es una hiperelipse que construí con madera de roble]

REFERENCIAS

Erwin Panofsky - The Life and Art of Albrecht Dürer - Princeton University Press
Dan Pedoe - Geometry and the Liberal Arts - St. Martin's Press (p. 76)
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition (p. 197)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961 (p. 87).
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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