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Un icosaedro es un sólido platónico. Sus caras son triángulos equiláteros, al igual que el tetraedro y el octaedro.

Es muy fácil construir un icosaedro con cartulina a partir de su desarrollo plano, tal como nos enseñó Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Cuatro libros de la medida') publicado en 1525:

Icosaedro: desarrollo plano de un icosaedro por Durero | matematicasVisuales

También podemos hacer esta sencilla lámpara icosaédrica:

Icosaedro: beautiful lamp | matematicasVisuales
Icosaedro: how to make a beautiful lamp | matematicasVisuales

En esta página vamos a estudiar la relación entre la razón áurea y el icosaedro. También calcularemos el volumen de este poliedro.

El rectángulo áureo es una construcción muy bonita que está relacionada también con algunas espirales y el dodecaedro.

Podemos poner tres rectángulos áureos (en tres planos mutuamente ortogonales) y hacer una construcción del icosaedro bien conocida. Estos rectángulos tienen 12 vértices. La distancia entre cada par de puntos vecinos es igual al lado corto del rectángulo áureo. Por lo tanto, estos 12 puntos son los 12 vértices de un icosaedro.

Icosaedro: tres rectángulos áureos y el icosaedro | matematicasVisuales

Por simetría, estos 20 triángulos son isósceles, pero ¿son equilateros?

Icosaedro: tres rectángulos áureos; ¿son los triángulos equiláteros? | matematicasVisuales

Un manera sencilla de convencernos de esto es calcular la altura de uno de esos triángulos:

Icosaedro: tres rectángulos áureos; ¿son los triángulos equiláteros?, alguos cálculos | matematicasVisuales

Recordamos esta relación de la proporción áurea:

Entonces:

Y h es la altura de un triángulo equilátero de lado 2:

Los lados de los tres rectángulos que contienen los 20 vértices del icosaedro forman los Anillos de Borromeo.

Podemos hacer los anillos de Borromeo usando tres globos. Esta construcción está inspirada en un video sobre el logotipo de la International Mathematical Union (IMU) diseñado por John Sullivan (The Borromean Rings: a new logo for the IMU).

Icosaedro: Anillos de Borromeo con globos | matematicasVisuales

Vamos a calcular el volumen de un icosaedro de lado 2:

Un icosaedro tiene veinte triángulos equiláteros. En nuestro caso, la longitud de cada arista es 2.

Icosaedro, el área de una cara | matematicasvisuales

El área de una de esos veinte triángulos equiláteros que tiene un icosaedro de lado 2 es:

El volumen de un icosaedro de lado 1 es un octavo del volumen de un icosaedro de lado 2.

El volumen de un icosaedro de lado 1 es el mismo que el volumen de dos y media pirámides. Tenemos que calcular la altura de una de esas pirámides, es decir, la distancia entre el centro y una de las caras triangulares.

Icosaedro, distancia entre el centro y una cara: altura de una pirámide | matematicasvisuales

Hay dos triángulos semejantes y podemos escribir la proporción:

Icosaedro, una formula para calcular la altura de una pirámide dentro de un icosaedro| matematicasvisuales

Entonces el volumen de una pirámide es:

Y en volumen de un icosaedro de lado 1 es:

Icosaedro: decorando un parque en Francia  | matematicasVisuales

Los seis vértices de un octaedro están en tres cuadrados ortogonales dos a dos. Podemos pner en cada cuadrado un rectángulo áureo (por ejemplo, usando tubos):

Icosaedro: un cuadrado y un rectángulo áureo con tubos | matematicasVisuales

La misma construcción con Zome:

Icosaedro: un cuadrado y un rectángulo áureo con Zome | matematicasVisuales

Entonces, si los 20 aristas de un octaedro se dividen en la proporción áurea (en un orden determinado) esos puntos son los vértices de un icosaedro.

Icosaedro: icosaedro dentro de un octaedro | matematicasVisuales

No es difícil calcular el volumen del octaedro y el volumen de las 6 bipirámides y obtener de nuevo el volumen del icosaedro.

Icosaedro: octaedro e icosaedro, 6 bipirámides | matematicasVisuales

Icosaedro y octaedro, uno dentro de otro, con Zome: .

Un icosaedro, un octaedro y un tetraedro, uno dentro de otro, hecho usando tubos de aluminio:

Podemos construir la estructura de un icosaedro usando seis palos y seis gomas elásticas. Es uno de los ejemplos más sencillos de tensegridad (tensegrity).

Icosaedro: tensegridad con madera y goma | matematicasVisuales
Icosaedro: tensegridad tensegrity con madera y goma | matematicasVisuales
Icosaedro: tensegridad tensegrity con tubo de aluminio y bridas de plástico | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Coxeter - Fundamentos de Geometría (Ed. Limusa)

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