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Un icosaedro es un sólido platónico. Sus caras son triángulos equiláteros, al igual que el tetraedro y el octaedro.

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.

Ya hemos visto varias propiedades del icosaedro y muchas maneras de construirlo. Tiene una belleza especial y, por otro lado, es muy sencillo de construir.

Por ejemplo, esta lámpara icosaédrica hecha con cartulina y gomas elásticas:

Icosaedro: beautiful lamp | matematicasVisuales

El icosaedro está relacionado con el pentágono y la proporción áurea.

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.


Además hemos visto una construcción muy bonita que muestra que los 12 vértices del icosaedro están en tres rectángulos áureos perpendiculares dos a dos.

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.


En esta página vamos a calcular el volumen del icosaedro.

Parece una tarea complicada pero no lo es si sabemos mirar en su interior y aplicamos dos herramientas básicas:

1) El cálculo del volumen de una pirámide pues podemos imaginarnos el icosaedro formado por pirámides cuya base es una cara que es un triángulo equilátero.

2) Necesitamos saber la altura de esas pirámides, es decir la distancia de una cara al centro del poliedro. Es ahora cuando necesitamos mirar el interior del poliedro para poder calcular esta altura pero veremos que es una sencilla aplicación de la semejanza de triángulos.

También tenemos que recordar alguna propiedad del número áureo.

Vamos a ver lo sencillo que esto. Quizás antes venga bien un repaso de algunas ideas sobre la semejanza y sobre el cálculo del área de un triángulo equilátero.

Semejanza: Áreas de triángulos equiláteros.
Los triángulos equiláteros son figuras semejantes. Si calculamos el área de un solo triángulo equilátero, por semejanza, sabremos el área de cualquier triángulo equilátero. Repasaremos relaciones entre longitudes y áreas de figuras semejantes aplicadas a este caso particular.



Usaremos la siguiente notación:

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que podemos leer: "Volumen del icosaedro de arista a".

Para saber calcular el área de un icosaedro cualquiera podemos tener en cuenta que nos basta con saber el área de un icosaedro particular, el que nosotros queramos, pues hay una importante relación entre el volumen de figuras semejantes. Aplicado al caso del icosaedro, esta relación se podría expresar diciendo que la razón entre el volumen de dos icosaedros es igual al cubo de las razones de sus aristas.

Si pensamos que una de las aristas mide 1 podemos considerar esta relación:

Ya hemos visto cuando calculábamos el área de un triángulo equilátero que el triángulo equilátero con el que se hacen las operaciones con mucha sencillez es el que tiene lado 2.

Queremos calcular el volumen del icosaedro de arista 1 pero como es más sencillo hacer los cálculos con el de lado 2 vamos a fijarnos en el icosaedro de arista 2.

De todos modos, la relación entre los volúmenes de los icosaedros de arista 1 y 2 es:

Es decir, el volumen de un icosaedro de arista 2 es ocho veces el volumen de un icosaedro de arista 1.

Que también podemos escribir:

Podemos conseguir un octavo de icosaedro justamente seccionándolo por tres planos perpendiculares como los que contienen los tres rectángulos áureos.

Además, al seccionar el icosaedro podremos ver su interior, que es lo que nos interesa.

La aplicación interactiva nos muestra cómo se divide el icosaedro en ocho partes.

Icosaedro| matematicasvisuales
Icosaedro| matematicasvisuales

Esta división del icosaedro en ocho partes nos va a ser útil, pero para calcular el volumen de un icosaedro podemos imaginarnos que el sólido está formado por 20 pirámides que tienen por base cada una de las caras y cuyo vértice está en el centro del icosaedro.

Usaremos la siguiente notación

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para referirnos al volumen de cada una de las pirámides del icosaedro de arista 2.

Entonces podemos afirmar:

O también:

Tenemos que calcular el volumen de estas pirámides.

El área de la base es sencilla pues es un triángulo equilátero de lado 2, por tanto es:

La pequeña dificultad está en calcular la altura de esta pirámide, es decir la longitud del segmento que va del centro del icosaedro perpendicular hasta la base. Para calcularla haremos uso de la semejanza de triángulos y de nuestra capacidad para ver el interior del icosaedro.

Para ello nos vamos a ayudar de una de esas ocho piezas en las que hemos dividido nuestro poliedro.

Icosaedro| matematicasvisuales

Manipular un modelo en cartulina todavía nos ayuda más a comprender el icosaedro (más abajo hay una plantilla para descargar y montar esta figura):

Icosaedro| matematicasvisuales

De paso nos fijamos en que calcular el volumen de un icosaedro de arista 1 es lo mismo que calcular el volumen de esta pieza que es un octavo del icosaedro de arista 2.

Así vemos el interior del icosaedro:

Icosaedro, distancia entre el centro y una cara: altura de una pirámide | matematicasvisuales
Icosaedro| matematicasvisuales

En esta posición tenemos que localizar dos triángulos rectángulos semejantes (¿por qué son semejantes?) y fijarnos en sus hipotenusas y su cateto "largo". El segmento h es la altura de la pirámide pues va perpendicular desde el centro del poliedro a una de las bases (de hecho va a parar al baricentro del triángulo equilátero y, además, es el inradio o radio de la esfera inscrita en el icosaedro).

Icosaedro| matematicasvisuales

Podemos escribir la proporción:

Despejando h:

Para simplificar los cálculos nos conviene recordar esta propiedad del número áureo.

Entonces h (altura de la pirámide o inradio) puede simplificarse así:

El volumen de una pirámide es:

Y en volumen de un icosaedro de lado 1 es:



La aplicación interactiva del comienzo de la página (que requiere Adobe Flash Player) nos ha ayudado a comprender como dividir el icosaedro en octavos pero, si te gusta construir poliedros siempre es mucho mejor manipular un objeto real.

He preparado unas plantillas para descargar un octavo de icosaedro. Se necesitan dos versiones simétricas si queremos completar la figura.

Podemos usar estas piezas para completar la construcción de los tres rectángulos áureos y es un ejemplo del uso de imanes para hacer descomposiciones de poliedros.

Taller Talento Matemático Zaragoza: | matematicasVisuales

Aquí vemos cómo usar imanes:

ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales

Podemos combinar esta construcción con los tres rectángulos áureos:

ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales
ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales
ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales
ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales
Icosaedro: decorando un parque en Francia  | matematicasVisuales

Variantes de la construcción de un octavo de icosaedro:

Icosaedro| matematicasvisuales

REFERENCIAS

Coxeter - Fundamentos de Geometría (Ed. Limusa)

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
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Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
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La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Dilatación y giro de la espiral equiangular
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.