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Poliedros: Cuboctaedro y Dodecaedro rómbico
Taller de Talento Matemático (Zaragoza) 2014

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza por Roberto Cardil.

Viernes día 9 de Mayo de 2014 a las 18:15.

Objetivos:

El primer objetivo es pasar un rato agradable hablando de unos pocos poliedros. Repasaremos algunas propiedades de tres de los sólidos platónicos (tetraedro, cubo y octaedro), de un sólido arquimediano (el cuboctaedro) y de un sólido de Catalán (dodecaedro rómbico o rombododecaedro).

Nos centraremos en el dodecaedro rómbico que tiene interesantes propiedades que, de alguna manera, son conocidas por las abejas de la miel.

El segundo objetivo es animar a la realización de modelos de poliedro usando técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.). Construiremos un dodecaedro rómbico o una celda hexagonal de las abejas con cartulina que, a la vez, es una cajita.

Se necesita: tijera, regla y pegamento.

Se anima a los participantes a construir algún poliedro y traerlo a la sesión para que todos nos animemos a hacer estas figuras.

Esta sesión tiene un espíritu parecido a la sesión del Taller de Talento Matemático realizada el 13 de Abril de 2012.

Lo que sigue son unas notas de ampliación. En la charla hablaremos de estos poliedros, presentaremos modelos realizados con diferentes técnicas y practicaremos un poco construyendo un dodecaedro rómbico.

1.- El tetraedro

El Tetraedro es el sólido platónico más sencillo. Conocido desde épocas muy remotas.

Es descrito por Luca Pacioli en su libro 'La Divina Proporción' donde podemos ver una ilustración de Leonardo da Vinci.

El tetraedro es una pirámide y su volumen es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su volumen pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea.

Se puede construir un tetraedro dentro de un cubo:

Construcción poliedros| Tetraedro y Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Tetraedro en un cubo | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un tetraedro de arista 1:

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

2.- Octaedro

Podemos pensar que el octaedro está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas. Su desarrollo es fácil de construir pues sus caras son triángulos equiláteros.

Construcción poliedros| Octaedro de cartulina | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

Una manera de ver un octaedro para calcular su volumen | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un octaedro (y este es un ejemplo bien claro de que si se tiene en la mano este modelo el razonamiento se entiende mucho mejor):

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

3.- Dualidad

En una breve historia de los poliedros tendríamos que citar, por lo menos, a Platón, Euclides, Arquímedes, Pacioli, Durero, Kepler. Un cambio crucial en cómo vemos los poliedros lo asociamos a Euler. Euler considera que un poliedro está formado por vértices (elementos de dimensión 0), aristas (dimensión 1) y caras (dimensión 2). Entonces deduce la famosa Fórmula de Euler:

Fórmula de Euler para los poliedros, Característica de Euler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Una consecuencia de este punto de vista es que podemos considerar ciertas deformaciones del poliedro y la fórmula se sigue verificando pues lo importante no es que las aristas sean rectas o que tengan tales o cuales medidas. Podemos imaginar la figura hecha de goma y estirando (sin rasgar) deformamos el poliedro pero la fórmula se seguirá cumpliendo. Estas ideas (junto con el problema de los Puentes de Koningsberg -que resolvió Euler-) están en el origen de una rama de las Matemáticas que llamamos Topología.

INVESTIGA

Contar los vértices, aristas y caras de los sólidos platónicos y comprobar que se cumple la Fórmula de Euler.

Tetraedro:

Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Cubo:

Platonic polyhedra: cube | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Octaedro:

Platonic polyhedra: octahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Icosaedro:

Platonic polyhedra: Icosahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Dodecaedro:

Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Nosotros nos vamos a quedar en una consecuencia sencilla de ese énfasis en vértices, aristas y caras. A partir de un poliedro vamos a pensar en otro poliedro que tenga las mismas aristas pero que intercambie el número de vértices con el de caras.

A este nuevo poliedro lo llamaremos el dual del poliedro inicial. Si hacemos 'el dual del dual' volvemos al poliedro inicial.

Es decir, los poliedros se pueden emparejar en parejas de poliedros duales.

INVESTIGA

¿Cúales son los duales de los cinco sólidos platónicos?

Vamos a ver dos maneras de colocar una pareja de poliedros duales. La primera es pensando en que el dual de un poliedro tiene tantos vértices como caras tiene su dual. Vamos a marcar un punto en cada cara de un poliedro (si la cara es un polígono regular, podemos marcar el circuncentro). Uniendo estos vértices obtenemos el poliedro dual.

Hacemos esta construcción para el caso del tetraedro (y su dual, otro tetraedro), con origami:

Un tetraedro es el dual de otro tetraedro el tetraedro es un poliedro auto-dual | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

La misma construcción usando una combinación de tubos y tensegrity:

Un tetraedro es el dual de otro tetraedro: el tetraedro es un poliedro auto-dual | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

¿Cuál es el tamaño relativo de estos dos tetraedros?

4.- El cubo y su dual, el octaedro

Sabemos poner un tetraedro dentro de un cubo y poner un octaedro dentro de un tetraedro.

Construyendo los tres poliedros obtenemos un octaedro con sus vértices en el centro de las caras del cubo.

El cubo y el octaedro son poliedros duales.

El cubo y el octaedro son poliedros duales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
El cubo y el octaedro son poliedros duales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Así lo vio Kepler:

Cubo y octaedro son poliedros duales, así lo vio Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

La siguiente fotografía es un dado, con sus seis números, pero que no es un cubo, es una esfera. Sin embargo 'funciona' como si fuera un dado normal. Dentro está hueco y hay una bolita.

¿Te puedes imaginar que forma tiene el hueco en el que está la bolita?

Dado en forma de esfera | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

INVESTIGA

Si te fijas, en la fotografía de los poliedros con tubos se pueden ver cuatro poliedros. ¿Se pueden construir los cinco sólidos platónicos, uno dentro de otro?

Este es un modelo de Zome:

Cinco sólidos platónicos uno dentro de otro, modelo de Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Vamos a ver ahora cómo a partir de un poliedro podemos construir otros poliedros.

5.- Añadiendo pirámides

Una manera de construir nuevos poliedros es añadir pirámides a las caras de otro poliedro.

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Este procedimiento es descrito por Luca Pacioli. A estos poliedros los llama 'elevatus'. Esta es una ilustración de Leonardo da Vinci:

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un ejemplo interesante es partir de un octaedro y añadirle cuatro tetraedros:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1. Aquí los mostramos un poco separados | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1 | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

¿Qué relación hay entre el volumen del octaedro y el del tetraedro?

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es:

6.- El octaedro estrellado o stella octangula

En la construcción anterior sólo hemos puesto tetraedro en cuatro caras del octaedro. Si ponemos un tetraedro en cada cara obtenemos un poliedro ya descrito por Pacioli y dibujado por Leonardo.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
El octaedro estrellado (Stella octangula): es un octaedro con ocho pirámdes en cada cara | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Kepler se volvió a fijar en este poliedro y lo llamó Stella Octangula. Lo hizo desde otro punto de vista muy interesante. No piensa en que se añaden pirámides a las caras sino en que se plogonga el plano de cada cara del octaedro. Esos planos se cortan y delimitan un nuevo poliedro.

A estos poliedros los llamamos estrellados. La Stella Octangula es el octaedro estrellado.

El octaedro estrellado o stella octangula | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

¿Cuál es el volumen del octaedro estrellado o Stella Octangula de arista a?

INVESTIGA

Kepler describió más poliedros estrellados, por ejemplo este gran dodecaedro. Investiga sobre los poliedros llamados de Kepler-Poinsot.

Dodecaedro: gran dodecaedro, poliedro Kepler-Poinsot, modelo de cartulinas de colores | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Otra manera de ver el octaedro estrellado es pensar que es un poliedro compuesto por dos poliedros: un tetraedro y su dual, otro tetraedro.

Esto nos va a llevar a la segunda manera de colocar dos poliedros duales. Vamos a fijarnos en esta construcción.

Dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas. Si son poliedros regulares (como es el caso de los tetraedros) podemos colocar las aristas de modo que se bisequen y se corten ortogonalmente.

Entonces:

1) Obtenemos un nuevo poliedro compuesto.

2) Hay una parte común a ambos poliedros, en este caso, es el octaedro.

3) El poliedro compuesto es una estelación de esa parte común: el octaedro estrellado.

4) Los vértices del poliedro compuesto determinan un poliedro 'exterior' que contiene al poliedro compuesto: La Stella octangula está contenida en un cubo.

5) El poliedro 'común' y el 'exterior' son poliedros duales.

Vamos a ver qué ocurre si colocamos en esta posición otros dos poliedros duales, el cubo y el octaedro.

7.- Cubo y su dual el octaedro en posición recíproca

Si consideramos un cubo y un octaedro y los colocamos en 'posición recíproca' de modo que pares de aristas se bisequen ortogonalmente:

1) Obtenemos un poliedro compuesto:

Cuboctaedro estrellado: Estelación del cuboctaedro o poliedro compuesto por un cubo y un octaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

2) El poliedo 'común' tiene caras que son cuadrados y triángulos equiláteros. Se llama cuboctaedro.

Cuboctaedro estrellado: El cuboctaedro es el poliedro común al cubo y al octaedro en el poliedro compuesto de un cubo y un octaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Cuboctaedro estrellado: Cuboctaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

3) El poliedro compuesto es una estelación de éste: cuboctaedro estrellado.

4) Los vértices del cuboctaedro estrellado determinan un nuevo poliedro que es el dodecaedro rómbico.

5) El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son poliedros duales.

PARA PENSAR UN POCO

Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.

¿Puede calcular el tamaño relativo de estos poliedros?

Vamos a ver algunas propiedades del cuboctaedro y del dodecaedro rómbico.

8.- El cuboctaedro

El cuboctaedro es un poliedro que tiene caras que son cuadrados y triángulos equiláteros.

Descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Es un sólido arquimedianos. Algunos de estos poliedros son descritos en el libro de Pacioli 'La Divina Proporción' pero fuero descritos sistemáticamente por Kepler.

INVESTIGA

Buscar descripciones de los trece sólidos arquimedianos.

Ilustraciones del libro de Kepler 'Harmonices Mundi':

Sólidos platónicos según Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Sólidos platónicos según Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

A partir de un poliedro podemos obtener otros poliedros cortando vértices. Este proceso se llama truncamiento.

Algunos de los sólidos arquimedianos se obtienen por truncamiento y el cuboctaedro se puede conseguir truncando un cubo o truncando un octaedro.

Empezamos truncando un cubo:

Truncando un cubo, sólo un poco | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Obtenemos un sólido arquimediano (cubo truncado) con caras que son triángulos equilátero y octógonos:

Truncando un cubo: cubo truncado | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Llegamos al cuboctaedro:

Truncando un cubo: cuboctaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Desde allí podemos ir hacia el octaedro y obtener otro sólido arquimediano, el octaedro truncado:

Truncando un octaedro: octaedro truncado | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Truncando un octaedro, sólo un poco | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

Podemos calcular el volumen del cuboctaedro viéndolo como un cubo truncado o un octaedro truncado.

El volumen del cuboctaedro de arista 1 es:

Si pensamos que este cubo está formado por ocho cubos más pequeños (que tienen en común el vértice en el centro del cubo grande) podemos ver que la distancia desde el centro del cuboctaedro (su centro de gravedad) hasta cualquier vértice es la longitud de la arista (pues es igual a la diagonal de una cara de un cubo de los pequeños).

Cuboctaedro: la distancia del centro a cada vértices es la longitud de los lados, con Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son los vértices de un cuboctaedro:

Cuboctaedro: Omega Star, origami modular, los vértices de la Omega Star son vértices de un cuboctaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

INVESTIGA

El octaedro truncado tiene la interesante propiedad de teselar el espacio (al igual que el poliedro que vamos a estudiar a continuación, el dodecaedro rómbico). Investiga propiedades del octaedro truncado que puedan justificar esta propiedad de teselar el espacio.

Octaedro truncado | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 4| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

9.- Dodecaedro rómbico

Ya hemos visto cómo se obtiene el dodecaedro rómbico a partir del cuboctaedro estrellado.

Está formado por doce rombos y sabemos la relación entre sus diagonales.

Si la diagonal pequeña mide 1 la diagonal grande es:

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Y el lado del dodecaedro rómbico mide:

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Usando trigonometría también podemos medir los ángulos del rombo que son:

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Comprobamos que el dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son sólidos duales. Los duales de los sólidos arquimedianos se llaman sólidos de Catalán. El dodecaedro rómbico es un sólido de Catalán.

El dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son sólidos duales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Contamos las caras, aristas y vértices del cuboctaedro:

Y los elementos del dodecaedro rómbico:

Dodecaedro rómbico es un sólido de Catalán, dual del cuboctaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

En las siguientes construcciones con Zome se puede ver la dualidad entre el dodecaedro rómbico (amarillo) y el cuboctaedro (verde).

Dualidad cuboctaedro y dodecaedro rómbico, Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dualidad cuboctaedro y dodecaedro rómbico, Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dualidad cuboctaedro y dodecaedro rómbico, Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Hay muchas construcciones del dodecaedro rómbico con diferentes técnicas. Una especialmente curiosa esta hecha con cartas dobladas (¡las cartas no están pegadas, se sostienen unas a otras!) y que he aprendido de George Hart.

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Con origami modular se puede hacer un dodecaedro rómbico. A estas alturas no nos extraña que se necesiten 12 piezas de papel, pero que no se parte de cuadrados (como es bastante habitual): las hojitas tienen que tener una proporción como la de los folios de papel que usamos con el estándar DIN A.

Dodecahedron rómbico origami | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

INVESTIGA

El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.

Para obtener el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico hemos colocado dos poliedros duales (el cubo y el octaedro) es 'posición recíproca'.

Investiga si se puede hacer esto mismo con los otros dos poliedros platónicos duales, el dodecaedro y el icosaedro.

¿Que poliedros 'común' y 'exterior' se obtienen?

¿Son dos poliedros duales?

¿Resulta ser el poliedro 'común' un sólido arquimediano?

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Lampara triacontaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

10.- Dodecaedro rómbico: achaflanando un cubo

Otro modo de obtener nuevos poliedros a partir de otros es achaflanando las aristas.

Por ejemplo, en el caso del cubo:

Achaflanando un cubo | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Achaflanando un cubo | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Si achaflanamos más y más obtenemos un dodecaedro rómbico.

Achaflanando un cubo: dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

11.- Dodecaedro rómbico: un cubo con pirámides

Otro modo de ver el dodecaedro rómbico es como un cubo al que se añaden una pirámide en cada cara. Obtenemos un poliedro con 24 caras.

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Para una determinada altura, dos caras adyacentes de dos pirámides quedan en el mismo plano. Este poliedro tiene doce caras y es el dodecaedro rómbico.

Cubo con seis pirámides | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Obtenemos varias consecuencias de esta construcción. La primera es que es muy sencillo calcular el volumen del cuboctaedro pues es el doble del cubo que está contenido en él.

La segunda es que el cubo y el dodecaedro son 'reversibles'

Cubo y dodecaedro rómbico son 'reversibles' | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Cubo y dodecaedro rómbico son 'reversibles' | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Cubo y dodecaedro rómbico son 'reversibles' | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Este es un modelo hecho con cartulina. Puedes ver la técnica de construcción (en el interior hay unos imanes):

Cubo y dodecaedro rómbico, construcción con cartulina | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

La tercera consecuencia la comentamos en el siguiente apartado

12.- Con dodecaedros rómbicos llenamos el espacio

Como una consecuencia de la construcción anterior podemos rellenar el espacio con dodecaedros rómbicos.

Así lo explica Steinhaus: "Hemos comentado la posibilidad de llenar con cubos la totalidad del espacio. También lo conseguiremos merced al procedimiento siguiente: colocamos cubos alernativamente blancos y negros, a modo de damero tridimensional, luego retiramos los cubos negros. Descomponemos cada uno de los huecos en seis pirámides de bases cuadradas, con vértice en el centro del hueco cúbico. Si nos fijamos en sólo uno de los cubos blancos, provisto de 6 pirámides con bases en él, veremos un dodecaedro rómbico con un cubo inscrito en su interior: por la definición de nuestro procedimiento, es obvio que habremos llenado la totalidad del espacio con dodecaedros rómbicos congruentes." (Steinhaus, p. 186)

Dodecaedro rómbico rellena el espacio | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico rellena el espacio | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico rellena el espacio | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Decimos que el dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio (también lo hace el cubo y el octaedro truncado, entre otros)

Construcciones con Zome que muestran cómo el dodecaedro rómbico tesela el espacio:

Dodecaedro rómbico rellena el espacio, construcción con Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico rellena el espacio, construcción con Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico rellena el espacio, construcción con Zome | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

13.- El dodecaedro rómbico y los panales

El dodecaedro rómbico aparece en la naturaleza. Por ejemplo en los cristales de granate.

Dodecaedro rómbico en naturaleza: cristal de granate | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

El que primero describe en una publicación este poliedro fue Kepler, aunque era conocido con anterioridad. Kepler también se dio cuenta de que las abejas cierran sus celdillas hexagonales con tres rombos e intuyó que esos rombos eran los del dodecaedro.

Dodecaedro rómbico y panales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico y panales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico y panales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico y panales, celda hexagonal de panal de abeja | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Se puede demostrar que si queremos cerrar un prisma hexagonal con tres rombos el modo más económico, el que utiliza menos cera, es usando tres rombos del dodecaedro rómbico. Para ello necesitamos un poco de cálculo diferencial.

Dodecaedro rómbico: Propiedad de mínimo en los panales de abeja | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

14.- Construcción de un dodecaedro rómbico

Vamos a construir un modelo en cartulina. Hay dos variantes que son dos cajas. Una con forma de dodecaedro rómbico y la otra es una celda de panal de abeja. Cuando tengamos muchos modelos podremos encajar unos con otros y ver cómo teselan el espacio.

El diseño fue ideado por John Edminster y se pueden encontrar referencias en Beach Packaging Design.

Se puede ver cómo cabe un octaedro dentro del dodecaedro y también un cubo. Dentro del cubo se puede poner un cubococtaedro (en este caso, una estrella omega hecha con papiroflexia):

Estos son los modelos que se pueden descargar:

Caja dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Caja dodecaedro rómbico, panal  | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico:

Octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico. Con seis cuadrados se puede hacer una Omega Star de papiroflexia (que es un cuboctaedro) que cabe dentro del cubo:

cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Luca Pacioli - De divina proportione - (La divina proporción) Ediciones Akal, 4ª edición, 2004. Traducción al castellano de Juan Calatrava.

MÁS ENLACES

Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El cuboctaedro y el octaedro truncado. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2016-2017 XIII edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
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Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.