El Tetraedro es el sólido platónico más sencillo. Conocido desde épocas muy remotas.

Es descrito por Luca Pacioli en su libro 'La Divina Proporción' donde podemos ver una ilustración de Leonardo da Vinci.

El tetraedro es una pirámide y su volumen es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su volumen pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea.

Se puede construir un tetraedro dentro de un cubo:

Podemos pensar que el octaedro está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas. Su desarrollo es fácil de construir pues sus caras son triángulos equiláteros.

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

En una breve historia de los poliedros tendríamos que citar, por lo menos, a Platón, Euclides, Arquímedes, Pacioli, Durero, Kepler. Un cambio crucial en cómo vemos los poliedros lo asociamos a Euler. Euler considera que un poliedro está formado por vértices (elementos de dimensión 0), aristas (dimensión 1) y caras (dimensión 2). Entonces deduce la famosa Fórmula de Euler:

Una consecuencia de este punto de vista es que podemos considerar ciertas deformaciones del poliedro y la fórmula se sigue verificando pues lo importante no es que las aristas sean rectas o que tengan tales o cuales medidas. Podemos imaginar la figura hecha de goma y estirando (sin rasgar) deformamos el poliedro pero la fórmula se seguirá cumpliendo. Estas ideas (junto con el problema de los Puentes de Koningsberg -que resolvió Euler-) están en el origen de una rama de las Matemáticas que llamamos Topología.

Nosotros nos vamos a quedar en una consecuencia sencilla de ese énfasis en vértices, aristas y caras. A partir de un poliedro vamos a pensar en otro poliedro que tenga las mismas aristas pero que intercambie el número de vértices con el de caras.

A este nuevo poliedro lo llamaremos el dual del poliedro inicial. Si hacemos 'el dual del dual' volvemos al poliedro inicial.

Es decir, los poliedros se pueden emparejar en parejas de poliedros duales.

Vamos a ver dos maneras de colocar una pareja de poliedros duales. La primera es pensando en que el dual de un poliedro tiene tantos vértices como caras tiene su dual. Vamos a marcar un punto en cada cara de un poliedro (si la cara es un polígono regular, podemos marcar el circuncentro). Uniendo estos vértices obtenemos el poliedro dual.

Hacemos esta construcción para el caso del tetraedro (y su dual, otro tetraedro), con origami:

La misma construcción usando una combinación de tubos y tensegrity:

Sabemos poner un tetraedro dentro de un cubo y poner un octaedro dentro de un tetraedro.

Construyendo los tres poliedros obtenemos un octaedro con sus vértices en el centro de las caras del cubo.

El cubo y el octaedro son poliedros duales.

Así lo vio Kepler:

Vamos a ver ahora cómo a partir de un poliedro podemos construir otros poliedros.

Una manera de construir nuevos poliedros es añadir pirámides a las caras de otro poliedro.

Este procedimiento es descrito por Luca Pacioli. A estos poliedros los llama 'elevatus'. Esta es una ilustración de Leonardo da Vinci:

Un ejemplo interesante es partir de un octaedro y añadirle cuatro tetraedros:

En la construcción anterior sólo hemos puesto tetraedro en cuatro caras del octaedro. Si ponemos un tetraedro en cada cara obtenemos un poliedro ya descrito por Pacioli y dibujado por Leonardo.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula) para La Divina Proporción de Luca Pacioli

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Kepler se volvió a fijar en este poliedro y lo llamó Stella Octangula. Lo hizo desde otro punto de vista muy interesante. No piensa en que se añaden pirámides a las caras sino en que se plogonga el plano de cada cara del octaedro. Esos planos se cortan y delimitan un nuevo poliedro.

A estos poliedros los llamamos estrellados. La Stella Octangula es el octaedro estrellado.

Otra manera de ver el octaedro estrellado es pensar que es un poliedro compuesto por dos poliedros: un tetraedro y su dual, otro tetraedro.

Esto nos va a llevar a la segunda manera de colocar dos poliedros duales. Vamos a fijarnos en esta construcción.

Dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas. Si son poliedros regulares (como es el caso de los tetraedros) podemos colocar las aristas de modo que se bisequen y se corten ortogonalmente.

Entonces:

1) Obtenemos un nuevo poliedro compuesto.

2) Hay una parte común a ambos poliedros, en este caso, es el octaedro.

3) El poliedro compuesto es una estelación de esa parte común: el octaedro estrellado.

4) Los vértices del poliedro compuesto determinan un poliedro 'exterior' que contiene al poliedro compuesto: La Stella octangula está contenida en un cubo.

5) El poliedro 'común' y el 'exterior' son poliedros duales.

Vamos a ver qué ocurre si colocamos en esta posición otros dos poliedros duales, el cubo y el octaedro.

Si consideramos un cubo y un octaedro y los colocamos en 'posición recíproca' de modo que pares de aristas se bisequen ortogonalmente:

1) Obtenemos un poliedro compuesto:

2) El poliedro 'común' tiene caras que son cuadrados y triángulos equiláteros. Se llama cuboctaedro.

3) El poliedro compuesto es una estelación de éste: cuboctaedro estrellado.

4) Los vértices del cuboctaedro estrellado determinan un nuevo poliedro que es el dodecaedro rómbico.

5) El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son poliedros duales.

Vamos a ver algunas propiedades del cuboctaedro y del dodecaedro rómbico.

El cuboctaedro es un poliedro que tiene caras que son cuadrados y triángulos equiláteros.

Descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Es un sólido arquimedianos. Algunos de estos poliedros son descritos en el libro de Pacioli 'La Divina Proporción' pero fuero descritos sistemáticamente por Kepler.

A partir de un poliedro podemos obtener otros poliedros cortando vértices. Este proceso se llama truncamiento.

Algunos de los sólidos arquimedianos se obtienen por truncamiento y el cuboctaedro se puede conseguir truncando un cubo o truncando un octaedro.

Empezamos truncando un cubo:

Obtenemos un sólido arquimediano (cubo truncado) con caras que son triángulos equilátero y octógonos:

Llegamos al cuboctaedro:

Desde allí podemos ir hacia el octaedro y obtener otro sólido arquimediano, el octaedro truncado:

Si pensamos que este cubo está formado por ocho cubos más pequeños (que tienen en común el vértice en el centro del cubo grande) podemos ver que la distancia desde el centro del cuboctaedro (su centro de gravedad) hasta cualquier vértice es la longitud de la arista (pues es igual a la diagonal de una cara de un cubo de los pequeños).

Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son los vértices de un cuboctaedro:

Ya hemos visto cómo se obtiene el dodecaedro rómbico a partir del cuboctaedro estrellado.

Está formado por doce rombos y sabemos la relación entre sus diagonales.

Si la diagonal pequeña mide 1 la diagonal grande es:

Y el lado del dodecaedro rómbico mide:

Usando trigonometría también podemos medir los ángulos del rombo que son:

Comprobamos que el dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son sólidos duales. Los duales de los sólidos arquimedianos se llaman sólidos de Catalán. El dodecaedro rómbico es un sólido de Catalán.

Contamos las caras, aristas y vértices del cuboctaedro:

Y los elementos del dodecaedro rómbico:

En las siguientes construcciones con Zome se puede ver la dualidad entre el dodecaedro rómbico (amarillo) y el cuboctaedro (verde).

Hay muchas construcciones del dodecaedro rómbico con diferentes técnicas. Una especialmente curiosa esta hecha con cartas dobladas (¡las cartas no están pegadas, se sostienen unas a otras!) y que he aprendido de George Hart.

Con origami modular se puede hacer un dodecaedro rómbico. A estas alturas no nos extraña que se necesiten 12 piezas de papel, pero que no se parte de cuadrados (como es bastante habitual): las hojitas tienen que tener una proporción como la de los folios de papel que usamos con el estándar DIN A.

Otro modo de obtener nuevos poliedros a partir de otros es achaflanando las aristas.

Por ejemplo, en el caso del cubo:

Si achaflanamos más y más obtenemos un dodecaedro rómbico.

Otro modo de ver el dodecaedro rómbico es como un cubo al que se añaden una pirámide en cada cara. Obtenemos un poliedro con 24 caras.

Para una determinada altura, dos caras adyacentes de dos pirámides quedan en el mismo plano. Este poliedro tiene doce caras y es el dodecaedro rómbico.

Obtenemos varias consecuencias de esta construcción. La primera es que es muy sencillo calcular el volumen del dodecaedro rómbico pues es el doble del cubo que está contenido en él.

La segunda es que el cubo y el dodecaedro son 'reversibles'

Este es un modelo hecho con cartulina. Puedes ver la técnica de construcción (en el interior hay unos imanes):

La tercera consecuencia la comentamos en el siguiente apartado

Como una consecuencia de la construcción anterior podemos rellenar el espacio con dodecaedros rómbicos.

Así lo explica Steinhaus: "Hemos comentado la posibilidad de llenar con cubos la totalidad del espacio. También lo conseguiremos merced al procedimiento siguiente: colocamos cubos alernativamente blancos y negros, a modo de damero tridimensional, luego retiramos los cubos negros. Descomponemos cada uno de los huecos en seis pirámides de bases cuadradas, con vértice en el centro del hueco cúbico. Si nos fijamos en sólo uno de los cubos blancos, provisto de 6 pirámides con bases en él, veremos un dodecaedro rómbico con un cubo inscrito en su interior: por la definición de nuestro procedimiento, es obvio que habremos llenado la totalidad del espacio con dodecaedros rómbicos congruentes." (Steinhaus, p. 186)

Decimos que el dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio (también lo hace el cubo y el octaedro truncado, entre otros)

Construcciones con Zome que muestran cómo el dodecaedro rómbico tesela el espacio:

El dodecaedro rómbico aparece en la naturaleza. Por ejemplo en los cristales de granate.

El que primero describe en una publicación este poliedro fue Kepler, aunque era conocido con anterioridad. Kepler también se dio cuenta de que las abejas cierran sus celdillas hexagonales con tres rombos e intuyó que esos rombos eran los del dodecaedro.

Se puede demostrar que si queremos cerrar un prisma hexagonal con tres rombos el modo más económico, el que utiliza menos cera, es usando tres rombos del dodecaedro rómbico. Para ello necesitamos un poco de cálculo diferencial.

Vamos a construir un modelo en cartulina. Hay dos variantes que son dos cajas. Una con forma de dodecaedro rómbico y la otra es una celda de panal de abeja. Cuando tengamos muchos modelos podremos encajar unos con otros y ver cómo teselan el espacio.

El diseño fue ideado por John Edminster y se pueden encontrar referencias en Beach Packaging Design.

Se puede ver cómo cabe un octaedro dentro del dodecaedro y también un cubo. Dentro del cubo se puede poner un cubococtaedro (en este caso, una estrella omega hecha con papiroflexia):

Estos son los modelos que se pueden descargar:

Un octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico:

Un cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico. Con seis cuadrados se puede hacer una Omega Star de papiroflexia (que es un cuboctaedro) que cabe dentro del cubo: