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Microarquitectura y poliedros

Microarquitectura es un proyecto realizado por Sara San Gregorio en relación con Medialab-Prado en Madrid.

Las siguientes imágenes son ejemplos de actividades realizadas en Medialab-Prado con Microarquitectura:

Microarquitecturas | matematicasVisuales
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Así nos describe Sara San Gregorio este trabajo:

"Microarquitectura es un juego de autocostrucción de cabañas para niñas y niños compuesto en un kit de piezas planas para experimentar el volumen, el espacio, la construcción y el juego. Es un proyecto desarrollado en Medialab-Prado durante la convocatoria abierta a realizar proyectos haciendo uso de su laboratorio de fabricación digital en 2015 .Todo el proceso de ideación y diseño así como sus archivos de fabricación están publicados en el blog microarquitectura.org bajo la licencia CC-BY-NC-SA. La investigación previa para determinar la forma de las piezas parte del estudio geométrico de diferentes poliedros y la alteración de la geometría plana que los componen para crear volúmenes que dibujen los espacios de juego dándo tanta importancia a la forma del hueco como a la forma de las caras de madera incorporando en este desarrollo geométrico variables como la optimización del material y el uso de las máquinas de fabricación digital."

En esta página vamos a explorar algunas posibilidades de Microarquitectura en relación con la construcción de poliedros, estructuras en las que la simetría juega un papel fundamental.

Estas son las dos formas básicas de Microarquitectura.

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Una es un hexágono regular que podemos ver también como un "triángulo equilátero truncado". La otra se basa en el cuadrado y el octógono, pero no se trata de un octógono regular. La podemos ver como un "cuadrado truncado".

Estas formas y las uniones pueden hacerse en diferentes tamaños y materiales: madera, metacrilato, cartón ...

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1.- Tetraedro, tetraedro truncado

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Combinando tetraedros truncados y tetraedros se tesela el espacio. Podríamos ir añadiendo todas las piezas que quisieramos formando la estructura.

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INVESTIGA

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci: Dibujo del tetraedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.

2.- Octaedro, octaedro truncado

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El octaedro truncado tiene una propiedad muy interesante que es que tesela el espacio. Es decir, con diferentes copias de este poliedro rellenamos el espacio sin dejar huecos.

Con Microarquitectura se puede hacer esta preciosa construcción pero se necesita que los hexágonos tengan ranuras para poner uniones en todas las aristas. El resultado será muy bonito. Aquí reproducimos esta idea con cartulina y gomas.

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INVESTIGA

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro.

3.- Cubo, cubo truncado

Las caras octogonales de este cubo truncado construido con Microarquitectura no son regulares. Este poliedro es una ligera deformación del correspondiente poliedro arquimediano (cuyas caras son octógonos regulares).

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Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

4.- Cuboctaedro, cuboctaedro truncado

La siguiente construcción se basa en el cuboctaedro, que es un sólido arquimediano formado por seis cuadrados y ocho triángulos.

Si cortamos los vértices obtenemos un cuboctaedro truncado. Realmente lo que conseguimos no es un sólido arquimediano pues los cuadrados resultan ser rectángulos. Deformando estos rectángulos en cuadrados obtenemos el sólido arquimediano que conocemos por cuboctaedro truncado (formado por octógonos, hexágonos y cuadrados).

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Al construir esta figura con Microarquitectura ocurre algo parecido. Los octógonos no son regulares y los cuadrados resultan ser rectángulos.

Es interesante notar que estos rectángulos tienen la misma forma (son semejantes) que los rectángulos de papel que llamamos folios y que tienen un interesante formato estandarizado llamado DIN A (DIN A4 sería el folio).

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Aprovechando la flexibilidad del material se puede construir esta figura también inspirada en el cuboctaedro truncado.

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El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Proporción del papel estándar DIN A
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

5.- Rombicuboctaedro

La estructura de una cabaña muy bonita es un rombicuboctaedro al que se han truncado los vértices.

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Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.

6.- Icosidodecaedro truncado

El icosidodecaedro es un sólido arquimediano formado por pentágonos y triángulos.

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Truncando los vértices obtenemos el icosidodecaedro truncado que es el sólido arquimediano "más grande" que se construye usando polígonos con la misma arista.

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7.- Icosaedro, icosaedro truncado

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8.- Más estructuras

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REFERENCIAS

Microarquitectura, proyecto de Sara San Gregorio.
Medialab-Prado en Madrid.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
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Proporción del papel estándar DIN A
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
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