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El cuboctaedro es un sólido arquimediano. Sus caras son cuadrados y triángulos equiláteros. Obtenemos un cuboctaedro partiendo de un octaedro y truncando sus vértices. También se obtiene un cuboctaedro truncando un cubo.

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.

El cuboctaedro está formado por 6 cuadrados (uno por cada vértice del octaedro) y 8 triángulos equiláteros (uno por cada cara del octaedro).

Vamos a calcular el volumen del cuboctaedro de lado 1 a partir del volumen del octaedro.

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Si el cuboctaedro tiene arista 1, el octaedro que lo contiene es:

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro en un octaedro | matematicasvisuales

El volumen de este octaedro es:

El cuboctaedro se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Para calcular su volumen tenemos que restar del volumen del octaedro el volumen de las esquinas truncadas.

Cada esquina es medio octaedro de arista 1. Su volumen es:

Volumen del cuboctaedro: cada esquina truncada del octaedro de arista 2 es medio octaedro de arista 1 | matematicasvisuales

Ahora ya podemos calcular el volumen del cuboctaedro (lo que restamos al octaedro, las 6 pirámides, pueden formar tres octaedros de arista 1)

Volumen del cuboctaedro: El volumen del cuboctaedro es el volumen del octaedro de arista 2 menos tres octraedros de arista 1 | matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro | matematicasvisuales

Entonces el volumen del cuboctaedro de arista a es:

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro con tarjetas de visita (Origami Resource Center)| matematicasvisuales
Cuboctaedro hecho con tarjetas de visita (Instrucciones en Origami Resource Center, pulsa sobre la imagen para ver instrucciones)

Podemos construir un cuboctaedro y un octaedro usando cartulina y gomas elásticas: (Si quiere construir poliedros con esta técnica puedes ir a Construcción de poliedros, técnicas sencillas: cara a cara con cartulina)

Volumen del cuboctaedro: cuboctaedro hecho con cartulina y gomas elásticas | matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: un octaedro y un cuboctaedro hecho con cartulina y gomas elásticas | matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: desarrollo plano del cuboctaedro hecho con cartulina y gomas elásticas | matematicasvisuales

Durero fue el primero en publicar desarrollos planos de poliedros. En su libro 'Underweysung der Messung' ('Cuatro Libros de la Medida', publicado en 1525) el autor dibujó desarrollos planos de los cinco sólidos platónicos y de otros poliedros (entre ellos, varios sólidos arquimedianos). Por ejemplo, este cuboctaedro:

Volumen del cuboctaedro: plane net of a cuboctahedron drawn by Durer | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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