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La experiencia de construir un octaedro a partir de su desarrollo en papel con sus 8 triángulos equiláteros o uniendo 12 tubos de plástico formando 3 cuadrados en tres planos ortogonales o, simplemente, amontonando 6 naranjas no se sustituye con una representación bidimensional.



Un octaedro hecho con 12 tubos de plástico | matematicasvisuales

¿Qué puede aportar una aplicación interactiva a la manipulación de un modelo tridimensional de un octaedro?

Quizás lo primero podría ser recordarnos una manera de coger y mirar el octaedro. El octaedro está formado por 2 pirámides de base cuadrada unidas.

Una manera de ver un octaedro para calcular su volumen | matematicasvisuales

Si, por ejemplo, el lado es 1 entonces la base tiene 1 de área y la altura de las dos pirámides es la diagonal de un cuadrado unitario.

La altura de un octaedro es la diagonal de un cuadrado | matematicasvisuales

La diagonal de un cuadrado de lado 1 es:

Por lo tanto, el volumen de un octaedro de lado 1 es:

Y el volumen de un octaedro de lado a es:

Con este dato podemos calcular el volumen del tetraedro. Consideremos un tetraedro de lado 2:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1 | matematicasvisuales

Entonces podemos escibir la relación:

Relación entre el volumen de tetraedro de lado 1 y 2 | matematicasvisuales

Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y 4 tetraedros de arista 1:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1. Aquí los mostramos un poco separados | matematicasvisuales
Volumen del tetraedro | matematicasvisuales

Entonces, el volumen del octaedro es cuatro veces el del tetraedro y volvemos a calcular el volumen del tetraedro



Es muy fácil construir con tubos de plástico y limpiapipas la figura formada por un octaedro y cuatro tetraedros.



Octaedro y tetraedros con tubos de plástico | matematicasvisuales

Octaedros en un tetraedro con origami modular:

Volumen de un tetraedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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