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Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Tubos

Con tubos de plástico o metal podemos construir esqueletos de poliedros. Los tubos van a ser las aristas.

En particular, podemos comprobar la rigidez de estas estructuras.

Una técnica usar Tubos de aluminios y hembrillas. La técnica puede consistir en usar tacos y hembrillas. Las hembrillas se pueden unir con bridas de plástico.

Tetrahedron and Octahedron

Los tubos de plástico los podemos unir con limpiapipas (escobillones o felpillas). El tetraedro es muy sencillo. Vemos que es muy rígido. Podemos construir un tetraedro de arista 2 y vemos que este tetraedro está formado por cuatro tetraedros y un octaedro.

Volúmenes del octaedro y del tetraedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Los cinco sólidos platónicos

Vamos a construir los cinco sólidos platónicos uno dentro de otro.

El primero va a ser el icosaedro. Comprobamos que es rígido, al igual que los otros poliedros formados por triángulos equiláteros (el tetraedro y el octaedro). Sabemos que los vértices de un octaedro están en tres cuadrados ortogonales dos a dos. También el icosaedro tiene los vértices en tres rectángulos áureos ortogonales dos a dos. Esto sugiere una construcción muy bonita del icosaedro dentro del octaedro (Los rectángulos áureos están inscritos en cuadrados).

Sobre el octaedro contruye el tetraedro como ya vimos con los tubos de plástico.

El tetraedro está dentro de un cubo, como nos mostró Kepler.

Hasta aquí la estructura es rígida. Se construye el dodecaedro sobre el cubo.

El dodecaedro sobre el cubo también nos lo enseñó Kepler en esta ilustración:

Construcción poliedros| dodecaedro sobre cubo según Kepler | matematicasVisuales

Dodecaedro y cinco tetraedros

Aquí podemos ver la construcción que tanto me gusta de cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro y también esta figura dentro de un icosaedro (mostrando la dualidad entre el icosaedro y el dodecaedro).

El dual de un tetraedro es otro tetraedro
A tetrahedron is the dual polyhedron of another tetrahedron | matematicasvisuales
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Cuboctahedron
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Volume of a cuboctahedron: tubes,  the distance from the center to each vertice is the edge length   | matematicasvisuales

REFERENCIAS

George Hart es una referencia para todos los aficionados a la construcción de poliedros.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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