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Poliedros duales: el cubo y el octaedro
Taller de Talento Matemático (Zaragoza)

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza por Roberto Cardil.

Viernes día 23 de Octubre de 2015 a las 18:15.

Objetivos:

Como en ocasiones anteriores, el principal objetivo es pasar un buen rato hablando de algunos poliedros. En esta sesión nos vamos a fijar en idea de dualidad, es decir, que de algún modo, los poliedros están emparejados. Podemos empezar por los poliedros más regulares (los llamados sólidos platónicos) y, en particular por la pareja más sencilla, la que forman el cubo y el octaedro.

También queremos animar a la construcción de poliedros con diferentes técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.).

Queremos construir poliedros para disfrutar de su belleza, mejorar nuestra percepción espacial y obtener conclusiones matemáticas.

Tendremos que hacer una construcción, para cogerle gusto. En esta sesión haremos un octaedro con papiroflexia que podemos encerrar en una caja que es un cubo. Necesitaremos tijera, regla y pegamento. También papel y lápiz, para hacer alguna cuenta.

Taller Talento Matemático Zaragoza: necesitamos regla, tijera y pegamento | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Aquellos que ya habéis construido algún poliedro en vuestra casa lo podéis traer para animar a todos a construir.

Los poliedros nos ayudan a pensar.

Esta sesión tiene un espíritu parecido a la sesión del Taller de Talento Matemático realizada el 7 de Noviembre del 2014.

El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

1.- Los cinco sólidos platónicos

Los cinco sólidos platónicos son los poliedros más regulares. Todas sus caras son congruentes (iguales) y son un polígono regular.

Resulta que estos polígonos regulares que forman las caras de cada sólido platónico sólo pueden ser triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos.

En los vértices de cada poliedro concurren el mismo número de aristas.

Estos son los cinco sólidos platónicos o poliedros regulares construidos con diferentes técnicas.

Tetraedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Cubo:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: cube | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Octaedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: octahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Icosaedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Icosahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Dodecaedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

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¿Por qué la unión de dos tetraedros no es un sólido platónico?

2.- Dualidad entre poliedros

El interés por los poliedros se remonta a tiempos muy remotos.

Se produce un cambio fundamental en la visión que tenemos de los poliedros con los trabajos de Leonard Euler (1707-1783).

Euler se fijó en propiedades de los poliedros que no tienen que ver con las medidas (de los lados, de los ángulos, etc.).

Consideró que los elementos fundamentales de un poliedro eran sus caras (de dimensión 2), sus aristas (de dimensión 1) y sus vértices (puntos, de dimensión 0).

Vamos a contar estos elementos de los sólidos platónicos:

Podemos formar parejas de poliedros que llamamos duales si nos fijamos que hay parejas de poliedros que intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.

A pesar de que estos conceptos se aplican a muchos poliedros y son propiedades que no están relacionadas con la medida de superficies, ángulos o aristas vamos a ver la dualidad de varios de estos sólidos platónicos.

INVESTIGA

Fórmula de Euler para los poliedros.

Además para estos poliedros (y para los poliedros irregulares que no tienen agujeros, que si nos imaginamos que se pueden inflar, al hincharlos quedarían como una pelota) se verifica una importante fórmula (que debemos a Leonard Euler) que relaciona las caras, las aristas y los vértices de un poliedro.

3.- El dual de un tetraedro es otro tetraedro

Un tetraedro tiene cuatro caras y cuatro vértices. Por lo tanto, su poliedro dual (intercambiando caras con vértices) tiene 4 caras y 4 vértices, es decir, es otro tetraedro

En una pareja de poliedros duales, cada cara se corresponde con un vértice del otro (y viceversa).

En el caso de los sólidos platónicos podemos construir un poliedro dentro de su poliedro dual considerando que los vértices de uno de ellos están en los centros de las caras del otro.

Entonces una construcción de un tetraedro y su dual es la siguiente:

Taller Talento Matemático Zaragoza: construcción del tetraedro y su dual | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: construcción del tetraedro y su dual | matematicasVisuales

Esta construcción ya nos la mostró Kepler (1571-1630):

Taller Talento Matemático Zaragoza: Kepler, tetraedro y su dual | matematicasVisuales

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Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

4.- Dos tetraedros en posición recíproca: Stella Octangula

Ahora nos vamos a fijar en que cada pareja de poliedros duales tiene el mismo número de aristas. Para el caso de los poliedros platónicos duales una posible construcción es colocar la pareja de poliedros duales de modo de cada arista esté bisecada por la otra y, además, en ángulo recto.

Entonces decimos que están en 'posición recíproca'.

En el caso del tetraedro obtenemos un poliedro que Kepler llamó 'Stella Octangula'.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Kepler, stella octangula, posición recíproca | matematicasVisuales

Si nos fijamos en la figura que es común a los dos tetraedros vemos que es un octaedro.

La Stella Octangula la podemos ver como un octaedro al que se le han añadido unas pirámides en cada cara. De hecho estas pirámides son también tetraedros.

Taller Talento Matemático Zaragoza: stella octangula, octaedro y tetraedros | matematicasVisuales

La Stella Octangula es un ejemplo de poliedro que llamamos estrellado, recibe también el nombre de 'octaedro estrellado'.

Si unimos adecuadamente los vértices de la Stella Octangula obtenemos un cubo.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Stella octangula dentro de un cubo | matematicasVisuales

Hemos obtenido, por un lado, un octaedro (interior) y, por otro, un cubo (exterior). Vamos a ver que el cubo y el octaedro forman también una pareja de poliedros duales.

Taller Talento Matemático Zaragoza: cubo y octaedro son poliedros duales | matematicasVisuales

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El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

5.- El tetraedro truncado

Nos fijamos ahora en un solo tetraedro. Contiene un octaedro.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro dentro de tetraedro | matematicasVisuales

Podemos pensar que obtenemos un octaedro a partir de un tetraedro cortando unas 'esquinas' (en este caso lo que cortamos son tetraedros).

Taller Talento Matemático Zaragoza: truncando un tetraedro | matematicasVisuales

Este procedimiento se llama truncamiento.

Según la profundidad del truncamiento obtenemos diferentes poliedros. En algunos casos obtenemos poliedros de una familia que llamamos poliedros arquimedianos.

Por ejemplo, el tetraedro truncado.

Taller Talento Matemático Zaragoza: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: tetraedro truncado | matematicasVisuales

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El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.

6.- El cubo y el octaedro son poliedros duales

Si contamos las caras, aristas y vértices del cubo obtenemos:

Si contamos las caras, aristas y vértices del octaedro obtenemos:

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro | matematicasVisuales

Se intercambian las caras y los vértices y ambos poliedros tienen el mismo número de aristas.

El cubo y el octaedro son poliedros duales.

Podemos colocar un octaedro dentro de un cubo con cada vértice del octaedro en el centro de una cara del cubo. Así nos lo mostró Kepler:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Kepler, octaedro dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro dentro de un cubo | matematicasVisuales

7.- El cubo y el octaedro en posición recíproca

Si colocamos un cubo y un octaedro en 'posición recíproca' obtenemos este poliedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Zome, cubo y octaedro en posición recíproca | matematicasVisuales

Taller Talento Matemático Zaragoza: cubo y octaedro en posición recíproca, cubocatedro estrellado | matematicasVisuales

El poliedro común se llama cuboctaedro.

El poliedro que se forma al colocar un cubo y un octaedro en 'posición recíproca' es un cuboctaedro estrellado.

Podemos ver el cuboctaedro como un truncamiento.

Taller Talento Matemático Zaragoza: cuboctaedro como truncamiento | matematicasVisuales

Si unimos los vértices del cuboctaedro estrellado obtenemos un poliedro que se llama dodecaedro rómbico.

Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

El dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son poliedros duales.

Taller Talento Matemático Zaragoza: cuboctaedro y dodecaedro rómbico son poliedros duales | matematicasVisuales

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Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.

8.- El cuboctaedro

El cuboctaedro, al igual que el tetraedro truncado, es un poliedro arquimediano.

Sus caras son cuadrados y triángulos equiláteros.

Taller Talento Matemático Zaragoza: cuboctaedro, cuboctahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: cuboctaedro con cartulina, cuboctahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: cuboctaedro con tubos, cuboctahedron | matematicasVisuales

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El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.

9.- El dodecaedro rómbico

El dodecaedro rómbico iene 12 caras que son rombos.

Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico, rhombic dodecahedron | matematicasVisuales

Tesela el espacio, es decir, con dodecaedros rómbicos podemos llenar el espacio sin dejar huecos.

Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico tesela el espacio | matematicasVisuales

Está relacionado con la construcción de los panales de las abejas.

Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico y los panales de abeja | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico y los panales de abeja | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: dodecaedro rómbico y los panales de abeja | matematicasVisuales

10.- El cubo truncado

Hemos visto que el cuboctaedro es el sólido común a un cubo y un octaedro en 'posición recíproca'.

Podemos ver el cuboctaedro como un truncamiento de un cubo.

Taller Talento Matemático Zaragoza: el cuboctaedro como truncamiento de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: el cuboctaedro como truncamiento de un cubo | matematicasVisuales

Si truncamos un cubo con 'menor profundidad' obtenemos otro poliedro arquimediano que llamamos cubo truncado.

Sus caras son octógonos y triángulos equiláteros.

Taller Talento Matemático Zaragoza: cubo truncado, truncated cube | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: cubo truncado, truncated cube | matematicasVisuales

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Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

11.- El octaedro truncado

También podemos ver el cuboctaedro como un truncamiento de un octaedro.

Taller Talento Matemático Zaragoza: el cuboctaedro como un truncamiento de un octaedro | matematicasVisuales

Si truncamos el octaedro con 'menor profundidad' podemos obtener otro sólido arquimediano que llamamos octaedro truncado. Sus caras son hexágonos y cuadrados.

Al igual que el dodecaedro rómbico, el octaedro truncado tesela el espacio.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro truncado, truncated octahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Truncated Octahedron: octaedro truncado, truncated octahedron | matematicasVisuales

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El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

12.- Construcción de un octaedro dentro de un cubo

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami | matematicasVisuales

Su construcción es simple y aquí podemos ver cómo se hace:

El objetivo es, además, construir una cubo para poder poner dentro el octaedro que hemos hecho con papiroflexia.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: desarrollo del cubo para descargar, download cube | matematicasVisuales

El cuadrado de la izquierda representa el tamaño del cuadrado de papel que tenemos que usar para construir el octaedro.

Taller Talento Matemático Zaragoza: El cuadrado de la izquierda representa el tamaño del cuadrado de papel que tenemos que usar para construir el octaedro | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
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