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Ya hemos visto que el dodecaedro rómbico está relacionado con los panales de las abejas:

Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?

Y que podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo:

Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.

Cundy y Rollet escribieron sobre el dodecaedro rómbico y el cubo: "Si un cubo es dividido por seis planos diametrales que pasen por pares de lados opuestos, se descompone en seis pirámides de base cuadrada. Si estas pirámides se añaden a las caras de otro cubo por fuera, el resultado es un dodecaedro rómbico" (Cundy y Rollet, pág. 122)

Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: seis pirámides congruentes en un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: sección diagonal de un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides | matematicasVisuales

Un cubo se puede descomponer en seis pirámides congruentes de base cuadrada. Cuatro aristas de una pirámide son la mitad de la diagonal en el espacio del cubo.

Esta construcción tiene varias consecuencias interesantes.

Primero, podemos ver en la aplicación interactiva que estas seis pirámides llenan un cubo. El volumen de una de estas pirámides es un sexto del volumen del cubo.

Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: el volumen de una pirámide | matematicasVisuales

Es decir, no necesitamos la fórmula del volumen de una pirámide para calcular el volumen de esta pirámide en particular.

El volumen de una pirámide en general es un tercio del área de la base por la altura. Podemos comprobar que estas pirámides particulares verifican la fórmula: el área de la base es 1 y la altura es 1/2.

Estas pirámides son un caso particularmente simple e importante de pirámide pues a partir de este ejemplo podemos deducir el volumen de pirámides de base rectangular (expandiendo el cubo en tres direcciones).



La segunda consecuencia de esta construcción es que podemos calcular con mucha facilidad el volumen de un dodecaedro rómbico.

Recordamos que si dentro del dodecaedro rómbico hay un cubo de arista 1, entonces la longitud de la arista del dodecaedro rómbico es:

Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: longitud de la arista del dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: longitud de la arista del dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Pyramidated cube and Rhombic Dodecahedron: longitud de la arista del dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

El volumen de este dodecaedro rómbico es el doble del volumen del cubo que hay en el interior:

Para calcular el volumen si la longitud de la arista es 1:

Entonces,

La fórmula general para calcular el volumen de un dodecaedro rómbico de arista a es:



Podemos jugar con la aplicación interactiva para ver simetrías muy bonitas como estas:



La tercera consecuencia de esta construcción es que el dodecaedro rómbico rellena o tesela el espacio.

Dodecaedro rómbico (5): El dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.

Ya hemos visto que podemos construir una preciosa caja inspirada en las celdas de los panales de las abejas.

Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.

Ahora podemos construir un dodecaedro rómbico que tambien es una caja.

Panales de abeja y dodecaedro rómbico, construcción de una caja diseñada por John Edminster | matematicasVisuales

Se puede descargar el modelo, imprimirlo en cartulina y pegarlo. El diseñador de esta caja fue John Edminster y podemos encontrar referencias en Beach Packaging Design.

Dodecaedro Rómbico formado por un cubo y seis pirámides: construcción de un dodecaedro rómbico diseñado por John Edminster. Modelo para descargar y construir | matematicasVisuales



El dodecaedro rómbico está relacionado con el cubo. Podemos construir un cubo y ponerlo dentro del dodecaedro rómbico. Dentro del cubo podríamos colocar un cuboctaedro. En el caso que se muestra se trata de la Estrella Omega, una contrucción de origami fácil y bonita. Sólo se necesitan seis piezas de papel. Si se imprimen los modelos con la misma impresora todo encaja: el dodecaedro rómbico, el cubo y el tamaño de los cuadrados de papel necesarios.

Dodecaedro rómbico, cubo y cuboctaedro: plantilla para descargar y construir | matematicasVisuales

El dodecaedro rómbico también está relacionado con el octaedro. No nos extraña pues el cubo y el octaedro son poliedros duales. También podemos construir un octaedro y ponerlo dentro del dodecaedro rómbico.

Octaedro dentro del dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Octaedro dentro del dodecaedro rómbico: plantilla para descargar y construir | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
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Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.