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Dodecaedro trapezo-rómbico


En esta página vamos a estudiar un poliedro que está muy relacionado con el dodecaedro rómbico. In this page we are going to study a polyhedron closely related with the Rhombic Dodecahedron.

Se llama dodecaedro trapezo-rómbico.

Partiendo de lo que sabemos sobre el dodecaedro rómbico vamos a ver tres puntos de vista diferentes para comprender mejor el dodecaedro trapezo-rómbico.

1) Kepler nos cuenta que descubrió el dodecaedro rómbico mirando la base de las celdas de las abejas. El dodecaedro rómbico tiene seis rombos formando un cinturón. Entonces cierra el poliedro por un lado con tres rombos y por el otro lado con otros tres rombos. Los seis rombos son iguales. Podemos ver cuatro cinturones pero ahora sólo nos fijamos en uno. Este cinturón es el que estaría apoyado en las paredes de la celda hexagonal.

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

En el siguiente vídeo se muestra que podemos cortar por la mitad el dodecaedro rómbico y girar 60º una parte.



Obtenemos el dodecaedro trapezo-rómbico. Tiene 6 caras que son rombos pero los otros 6 rombos se han transformado en 6 trapecios.

De su propia construcción deducimos que este poliedro tiene la misma área y el mismo volumen que el dodecaedro rómbico original. Y también tiene la interesante propiedad de teselar el espacio.

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales
Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales
Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales


2) El segundo punto de vista está relacionado con el empaquetamiento óptimo de esferas. Hemos visto que el dodecaedro rómbico es el resultado de comprimir esferas (Kepler se imaginó comprimiendo bolas de cañón, así era su genial imaginación).

Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.


Es muy recomendable hacer el experimento con trece bolas de arcilla. Doce bolas van a rodear a una central. Se sabe que no se pueden colocar más de 12 bolas tangentes a una central.

Si hacemos el experimento veremos que hay dos maneras distintas de colocar las bolas. No hace falta explicarlo, de hecho, este es un ejemplo excelente de cómo la comprensión de un concepto es inmediata si se toca con las manos.

Una de estas maneras de empaquetar de modo óptimo esferas da lugar al dodecaedro rómbico si comprimimos de un modo homogéneo:

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

Este empaquetamiento que da lugar al dodecaedro rómbico se llama empaquetamiento cúbico centrado en las caras

La segunda manera es ligéramente diferente. Si comprimimos esta configuración obtenemos el dodecaedro trapezo-rómbico.

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales
Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

El empaquetamiento que da lugar al dodecaedro trapezo-rómbico se llama empaquetamiento hexagonal compacto.

Dependiendo de cómo vayamos poniendo las capas de bolas se generan infinitas maneras de empaquetar las esferas de modo óptimo. Un poco de manipulación y está clara la idea.



3) En tercer lugar, hemos visto que hay una relación profunda entre el dodecaedro rómbico y el cuboctaedro.

Partimos de un cuboctaedro.

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

Podemos partirlo por la mitad por una de sus secciones hexagonales (tiene 4, como cinturones tiene el dodecaedro rómbico)

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

Podemos rotar 60º una de las mitades:

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

El nuevo poliedro que hemos obtenido es un poliedro de Johnson (a perdido regularidad y ya no es un poliedro arquimediano). Su nombre es ortobicúpula triangular (o cuboctaedro girado).

Si nos fijamos en la configuración de las bolas en el primer caso podemos ver que sus centros están en los vértices de un cuboctaedro. El dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son poliedros duales.

Los centros de las bolas en la segunda configuración forman un cuboctaedro girado. El dodecaedro trapezo-rómbico y el cuboctaedro girado son poliedros duales.



REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
D'Arcy Thompson, 'On Growth And Form' - Cambridge University Press, 1942.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.

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