En esta página vamos a estudiar un poliedro que está muy relacionado con el dodecaedro rómbico.
In this page we are going to study a polyhedron closely related with the Rhombic Dodecahedron.
Se llama dodecaedro trapezo-rómbico.
Partiendo de lo que sabemos sobre el dodecaedro rómbico vamos a ver tres puntos de vista diferentes para comprender mejor
el dodecaedro trapezo-rómbico.
1) Kepler nos cuenta que descubrió el dodecaedro rómbico mirando la base de las celdas de las abejas. El dodecaedro rómbico tiene
seis rombos formando un cinturón. Entonces cierra el poliedro por un lado con tres rombos y por el otro lado con otros tres rombos.
Los seis rombos son iguales. Podemos ver cuatro cinturones pero ahora sólo nos fijamos en uno. Este cinturón es el que estaría
apoyado en las paredes de la celda hexagonal.
Obtenemos el dodecaedro trapezo-rómbico. Tiene 6 caras que son rombos pero los otros 6 rombos se han transformado en 6 trapecios.
De su propia construcción deducimos que este poliedro tiene la misma área y el mismo volumen que el dodecaedro rómbico original.
Y también tiene la interesante propiedad de teselar el espacio.
2) El segundo punto de vista está relacionado con el empaquetamiento óptimo de esferas.
Hemos visto que el dodecaedro rómbico es el resultado de comprimir esferas (Kepler se imaginó comprimiendo bolas de cañón,
así era su genial imaginación).
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
Es muy recomendable hacer el experimento con trece bolas de arcilla. Doce bolas van a rodear a una central.
Se sabe que no se pueden colocar más de 12 bolas tangentes a una central.
Si hacemos el experimento veremos que hay dos maneras distintas de colocar las bolas. No hace falta explicarlo, de hecho,
este es un ejemplo excelente de cómo la comprensión de un concepto es inmediata si se toca con las manos.
Una de estas maneras de empaquetar de modo óptimo esferas da lugar al dodecaedro rómbico si comprimimos de un modo homogéneo:
Este empaquetamiento que da lugar al dodecaedro rómbico se llama empaquetamiento cúbico centrado en las caras
La segunda manera es ligéramente diferente. Si comprimimos esta configuración obtenemos el dodecaedro trapezo-rómbico.
El empaquetamiento que da lugar al dodecaedro trapezo-rómbico se llama
empaquetamiento hexagonal compacto.
Dependiendo de cómo vayamos poniendo las capas de bolas se generan
infinitas maneras de empaquetar las esferas de modo óptimo. Un poco de manipulación y está clara la idea.
3) En tercer lugar, hemos visto que hay una relación profunda entre el dodecaedro rómbico y el cuboctaedro.
Partimos de un cuboctaedro.
Podemos partirlo por la mitad por una de sus secciones hexagonales (tiene 4, como cinturones tiene el dodecaedro rómbico)
Podemos rotar 60º una de las mitades:
El nuevo poliedro que hemos obtenido es un poliedro de Johnson (a perdido regularidad y ya no es un poliedro arquimediano).
Su nombre es ortobicúpula triangular (o cuboctaedro girado).
Si nos fijamos en la configuración de las bolas en el primer caso podemos ver que sus centros están en los vértices
de un cuboctaedro. El dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son poliedros duales.
Los centros de las bolas en la segunda configuración forman un cuboctaedro girado. El dodecaedro trapezo-rómbico y
el cuboctaedro girado son poliedros duales.
REFERENCIAS
Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de
Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad
de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección
Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en
'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010.
Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y
Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
D'Arcy Thompson, 'On Growth And Form' - Cambridge University Press, 1942.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In
Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.
MÁS ENLACES
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.
Tetraxis es un puzle muy interesante, sencillo y bonito, diseñado por Jane y John Kostick. Estudiaremos algunas propiedades de este juego y su relación con el dodecaedro rómbico. Plantillas para construir un Tetraxis con cartulina e imanes. El rompecabezas hecho con impresión 3D.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
SIGUIENTE
ANTERIOR