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Podemos inscribir un cubo en un dodecaedro y ver el dodecaedro como un cubo con seis tejadillos. Estos seis tejadillos se pueden plegar dentro de un cubo. En el interior queda un espacio vacío.

El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: | matematicasVisuales

Este espacio se puede llenar con un poliedro que es un tipo de piritoedro, es decir, un dodecaedro irregular con sus doce caras pentagonales no regulares iguales. En este caso, además, el piritoedro tiene todas sus aristas iguales.

Se trata de un poliedro cóncavo.

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales

Como otras veces, os animo a construir vuestro propio piritoedro con cartulina.

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Construcción del piritoedro con cartulina | matematicasVisuales

Zome es una herramienta excelente para construir poliedros y para construir el piritoedro sólo necesitamos las piezas azules.

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Zome | matematicasVisuales

Ocho de los veinte vértices están en el cubo:

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Ocho de los veinte vértices están en el cubo | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: Ocho de los veinte vértices están en el cubo | matematicasVisuales

En el interior, doce vértices están en tres rectángulos áureos:

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: En el interior, doce vértices están en tres rectángulos áureos | matematicasVisuales

Podemos señalar estos tres rectángulos áureos con tres colores diferentes para verlo mejor:

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: En el interior, doce vértices están en tres rectángulos áureos | matematicasVisuales

Estos doce vértices son los vértices de un icosaedro:

Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: en el interior, un icosaedro | matematicasVisuales
Piritoedro, dodecaedro irregular con caras pentagonales iguales: en el interior, un icosaedro | matematicasVisuales

Para calcular el volumen de este piritoedro de arista 1 debemos recordar algunas propiedades de la proporción áurea. Es un cálculo muy parecido al del volumen del dodecaedro. Fundamentalmente, se trata de calcular el volumen de un tejadillo y tener en cuenta que ahora esos seis tejadillos están dentro del cubo.

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.

El volumen de este piritoedro es el volumen del cubo menos seis veces el volumen de un tejadillo.

Recordamos el volumen del cubo:

El volumen de un tejadillo es:

Por lo tanto, el volumen del piritoedro es:

REFERENCIAS

Zome es una herramienta excelente para construir poliedros.

MÁS ENLACES

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Aproximación de Durero de un pentágono regular
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.