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Un octavo de un dodecaedro de lado 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de lado 1.

Volumen de un dodecaedro: el volumen de un octavo de dodecaedro de lado 2 es el mismo que el volumen de un dodecaedro de lado 1 | matematicasVisuales

Vamos a calcular el volumen de un dodecaedro regular considerando esta figura:

Volumen de un dodecaedro: descomposición en piezas que nos van a ayudar para calcular el volumen | matematicasVisuales
Volumen de un dodecaedro: descomposición en piezas para calcular el volumen realizada con Zome | matematicasVisuales
Volumen de un dodecaedro: descomposición en piezas para calcular el volumen realizada con Zome | matematicasVisuales

Podemos descomponer un octavo de un dodecaedro de lado 2 en varias piezas para calcular el volumen de estas piezas por separado.

Volumen de un dodecaedro: piezas para calcular el volumen del dodecaedro. Hay un cubo, tres cuñas y tres pirámides | matematicasVisuales

Hay un cubo, tres cuñas y tres pirámides:

Volumen de un dodecaedro: piezas para calcular el volumen del dodecaedro. Hay un cubo, tres cuñas y tres pirámides  | matematicasVisuales

Algunas medidas importantes de estas figuras están relacionadas con la proporción áurea:

Volumen de un dodecaedro: algunas conexiones entre el dodecaedro y la proporción áurea | matematicasVisuales

Recordamos que

Volumen de un dodecaedro: Zome, la proporción áurea y el dodecaedro | matematicasVisuales

Hay un cubo y su volumen es:

Volumen de un dodecaedro: el volumen de un cubo | matematicasVisuales

Hay tres cuñas y el volumen de cada cuña es:

Volumen de un dodecaedro: el volumen de una cuña | matematicasVisuales

Hay tres pirámides y el volumen de cada pirámide es:

Volumen de un dodecaedro: el volumen de una pirámide | matematicasVisuales

Entonces el volumen de un dodecaedro de lado 1 es:

En general, el volumen de un dodecaedro regular de lado a es:

Algunos minerales, como la pirita, pueden cristalizar en forma de dodecaedro (no regular y que, a veces, llamamos piritoedro):

Volumen de un dodecaedro: algunos minerales, como la pirita, pueden cristalizar como dodecaedro (no regular, llamado piritoedro) | matematicasVisuales

MÁS ENLACES

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Aproximación de Durero de un pentágono regular
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Cubo achaflanado
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.