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Truncar un poliedro significa que cortamos los vértices (o las aristas) de ese poliedro.

Ya hemos visto varios casos en los que hemos truncado los vértices de un poliedro regular.

El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

En esta página vamos a ver el truncamiento de los lados de un cubo (achaflanar) y obtendremos un nuevo poliedro que vamos a llamar cubo achaflanado.

Podemos ver este achaflanamiento muchas veces pues se utiliza para rematar los cantos de muebles, encimeras de cocina, mármoles, etc. Solemos usar una herramienta que se llama fresa para achaflanar piezas de diversos materiales.

Cubo achaflanado: canto achaflanado de una pieza de madera | matematicasVisuales
Cubo achaflanado: achaflanado un cubo sólo un poco | matematicasVisuales
Cubo achaflanado: equilátero | matematicasVisuales

Achaflanado un cubo una determinada profundidad obtendremos un poliedro que tiene todas las aristas de igual longitud (equilátero). Tiene doce hexágonos que son equiláteros pero no equiángulos. No son hexágonos regulares.

El cubo achaflando es un poliedro que es semejante al octaedro truncado. Sin embargo, el octaedro truncado tiene doce hexágonos regulares y es un sólido arquimediano.

El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Cubo achaflanado: it is similar to the truncated octahedron. But the truncated octahedron have twelve hexagons that are regular| matematicasVisuales

Los hexágonos de un octaedro truncado son equiláteros y equiángulos.

Para comprobar que los hexágonos de un cubo achaflanado no tienen todos sus ángulos iguales vamos a calcular su medida. Para eso necesitaremos un poco de trigonometría.

Cubo achaflanado: los hexágonos de un cubo achaflanado son equiláteros pero no tienen sus ángulos iguales | matematicasVisuales

Los ángulos de este poliedro están relacionados con ángulos que ya encontramos cuando estudiamos el rectángulo DinA, es decir, el rectángulo de las hojas de papel estandarizadas que usamos en muchas partes del mundo.

Cubo achaflanado: el rectángulo DinA (tamaño estándar de papel) | matematicasVisuales

Podemos calcular el ángulo A:

Cubo achaflanado: ángulos | matematicasVisuales
Cubo achaflanado: ángulos | matematicasVisuales

Entonces, el ángulo B:

Cubo achaflanado: ángulos | matematicasVisuales

De hecho

Cubo achaflanado: angles | matematicasVisuales

Como un caso límite podemos obtener un poliedro que tiene interesantes propiedades: el dodecaedro rómbico.

Cubo achaflanado: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

El dodecaedro rómbico y el cuboctaedro son poliedros duales.

El cubo achaflanado que tiene todas las aritas de igual longitud también se llama dodecaedro rómbico truncado pues lo podemos obtener truncando los seis vértices de orden 4 de un dodecaedro rómbico de modo que esos vértices truncados sean cuadrados y los caras que eran rombos pasen a ser hexágonos equiláteros (aunque no regulares).

MÁS ENLACES

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).