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Leonardo da Vinci dibujó dos dodecaedros para el libro de Luca Pacioli 'La Divina Proporción'.

Dodecaedro: Leonardo da Vinci's dodecahedron drawing in Pacioli's book 'The Divine Proportione' | matematicasVisuales

Kepler también estuvo interesado en este cuerpo geométrico. Por ejemplo, podemos ver este dibujo en su libro 'Harmonices Mundi - La harmonía del mundo (1619)'. (Podemos leer el libro original en Posner Memorial Collection):

Dodecaedro: dibujo de un dodecaedro en el libro de Kepler 'Hamonices Mundi - La harmonía del mundo' | matematicasVisuales

En el libro de Durero 'Underweysung der Messung' el autor publicó el primer desarrollo plano de un dodecaedro regular (y de varios poliedros más).

Un dodecaedro regular es un poliedro platónico que tiene 12 caras que son pentágonos regulares. Hay una profunda relación entre el dodecaedro y la proporción áurea.

Los puntos de coordenadas:

Dodecaedro: vértices | matematicasVisuales

Son los 20 vértices de un dodecaedro regular de arista 2.

Donde es la razón áurea que hemos podido ver en el rectángulo áureo.

Podemos calcular la distancia entre pares de vértices adyacentes para convencernos por nosotros mismos.

Podemos construir este poliedro usando Zome:

Dodecaedro: poliedro construído con Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: modelo con Zome | matematicasVisuales

Kepler nos mostró cómo se puede poner un cubo dentro de un dodecaedro regular:

Dodecaedro: dibujo de Kepler de un cubo dentro de un dodecaedro | matematicasVisuales

Podemos inscribir un cubo en un dodecaedro de modo que cada lado del cubo está en una cara del dodecaedro uniendo dos vértices alternos de la cara, como una diagonal del pentágono. (Ball and Coxeter, p. 131)

Dodecaedro: un cubo dentro de un dodecaedro hecho con Zome | matematicasVisuales

Un dodecaedro regular se puede inscribir en una esfera. Para calcular el radio de esa esfera podemos pensar que es el centro de uno de los cubos que se pueden poner dentro del dodecaedro. Estos cubos tienen arista que es phi (el número áureo) si el dodecaedro tiene arista 1. También podemos razónar con estas figuras hechas con Zome. Entonces

Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome  | matematicasVisuales
Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome | matematicasVisuales

Para calcular el volumen de un dodecaedro podemos tener en cuenta que el volumen de un dodecaedro de lado 1 es un octavo del volumen del dodecaedro de arista 2. Puede ser interesante fijarse en esta figura:

Dodecaedro: el volumen de un dodecaedro de lado 1 es un octavo del volumen del  dodecaedro de arista 2 | matematicasVisuales

Con la ayuda de Zome Zome estudiaremos el volumen de un dodecaedro regular.

Origami: construcción de un dodecaedro con módulo PHiZZ de Tom Hull.

Dodecaedro: origami, modulo PHizz de Tom Hull | matematicasVisuales

Origami: construcción de un dodecaedro con el módulo penultimate (puede aprender sobre el módulo penultimate):

Dodecaedro: origami, módulo penultimate | matematicasVisuales

El dodecaedro y el icosaedro son poliedros duales.

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

Podemos construir un dodecaedro y un icosaedro con los lados correspondientes perpendiculares, bisecándose uno a otro. Entonces, la parte común es un icosidodecaedro. (Ball and Coxeter, 136)

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, modelo Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: Icosidodecaedro, modelo hecho con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales

Si quieres ver cómo construir poliedros y descargar plantillas puedes ir a Construcciones de poliedros. Técnicas sencillas. Cartulina: cara a cara.

El Icosidedocaedro tiene 20 caras triangulares y 12 pentagonales. Es un juguete para una mascota matemática:

Dodecaedro: Icosidodecaedro, un juguete para mascota | matematicasVisuales

Los vértices del dodecaedro (20) y los vértices del icosaedro (12) son los vértices de un triacontaedro rómbico:

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, el triacontaedro rómbico, modelo Zome | matematicasVisuales

El triacontaedro y el icosidodecaedro son poliedros duales, del mismo modo que lo son el dodecaedro y el icosaedro.

Cinco tetraedros en un dodecaedro. Una de las construcciones que más me gusta. La primera vez que vi esta construcción fue en el libro de Magnus J. Wenninger 'Polyhedron models for the classroom' (edición castellana 'Matemáticas más fáciles con manualidades de papel', Ediciones Dístein). Construí este modelo hace más de 25 años. Puedes descargar el desarrollo de las piezas en el sitio Korthalsates.

Dodecaedro: cinco tetraedros en un dodecaedro, modelo hecho con cartulina de colores | matematicasVisuales

Origami: Cinco tetraedros en un dodecaedro. obra maestra del origami modular:

Dodecaedro: five tetrahedra inside a dodecahedron, origami | matematicasVisuales

Zome: Cinco tetraedros en un dodecaedro:

Dodecaedro: Cinco tetraedros en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: un tetraedro en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

La longitud del lado del tetraedro en un dodecaedro es (recordando relación entre el cubo y el tetraedro):

Dodecaedro: un tetraedro en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

La misma construcción hecha con tubos de aluminio:

Se pueden inscribir cinco cubos dentro de un dodecaedro y construir esta figura:

Dodecaedro: cinco cubos en un dodecaedro, modelo de cartulina | matematicasVisuales
Dodecaedro: cinco cubos en un dodecaedro, modelo de cartulina | matematicasVisuales

Más modelos basados en un dodecaedro, un gran dodecaedro, un poliedro Kepler-Poinsot:

Dodecaedro: gran dodecaedro, poliedro Kepler-Poinsot, modelo de cartulinas de colores | matematicasVisuales

REFERENCIAS

W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999 (p. 121)
Origami: dodecahedron with the Tom Hull's PHiZZ module.
Origami: Penultimate module.
Kepler, 'Hamonices Mundi - The Harmony of the World', (1619) (Read the original book at Posner Memorial Collection).

MÁS ENLACES

Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
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Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
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El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
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