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Un rectángulo se puede dividir en dos piezas: un cuadrado sobre el lado más corto y otro rectángulo.

Para una determinada proporción de los lados del rectángulo inicial, usando este procedimieto obtenemos un rectángulo similar al inicial.

Entonces tenemos un rectángulo áureo.

Rectángulo Áureo: proporción áurea | matematicasVisuales
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.

Si partimos de un rectángulo áureo el procedimiento se puede repetir indefinidamente.

Rectángulo Áureo: infinitos rectángulos áureos | matematicasVisuales

La proporción áurea puede expresarse de esta manera: Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Euclides)

Así podemos obtener el número áureo

El hecho de que el proceso de obtención de rectángulos áureos es infinito sugiere que el número áureo es inconmensurable, es decir, que el número áureo es irracional.

Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.

Podemos ver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que CDFH se ha rotado un cuarto de vuelta.

Rectángulo Áureo: un par de rectas perpendiculares | matematicasVisuales

Entonces

Llamaremos O al punto de intersección.

Ahora podemos considerar la recta OC:

Rectángulo Áureo: la recta OC es una bisectriz | matematicasVisuales

Puesto que

Entonces OC biseca el ángulo recto BOD

Análogamente

O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces

Rectángulo Áureo: segundo par de rectas perpendiculares | matematicasVisuales

Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos rectángulos áureos. Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas

Rectángulo Áureo: Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos rectángulos áureos | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Coxeter H. S. M. - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195)

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La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
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