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Rectángulo áureo

Un rectángulo se puede descomponer en dos piezas: un cuadrado con el lado menor y otro rectángulo.

Para una determinada proporción de los lados del rectángulo inicial, por ese procedimiento obtenemos un rectángulo semejante al anterior.

Entonces hablamos de proporción áurea y de rectángulo áureo.

Proporción Áurea: rectángulo áureo | matematicasVisuales

Si partimos de un rectángulo áureo podemos considerar que el procedimiento de descomponerlo en un cuadrado y en otro rectángulo áureo lo podemos repetir indefinidamente.

Proporción Áurea: proceso  para obtener infinitos rectángulos áureos | matematicasVisuales

La animación nos muestra esa división de un rectángulo áureo y podemos imaginar cómo el proceso puede considerarse infinito.

Podemos ver las 4 rectas, ortogonales dos a dos, que contienen todos los vértices de esos infinitos rectángulos. Cada uno de estos pares de rectas son las bisectrices del otro par.

Proporción Áurea: 4 rectas, ortogonales dos a dos, que contienen todos los vértices de esos infinitos rectángulos áureos | matematicasVisuales

La proporción áurea se puede expresar como que es la proporción entre dos segmentos de modo que "el grande es al pequeño como el pequeño es a la diferencia".

Con lo que obtenemos el número dorado

El proceso infinito nos sugiere los lados de un rectángulo áureo son inconmensurables o, de otro modo, que el número dorado es irracional.

Puesto que el lado de un pentágono y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).

REFERENCIAS

Coxeter - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195).

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