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"Con respecto a los problemas en los que interviene un origen (o 'polo') fijo O, se suele encontrar que es conveniente determinar un punto P por medio de sus coordenadas polares

Coordenadas polares | matematicasVisuales

donde Coordenadas polares | matematicasVisuales es la distancia OP y Polar coordinates | matematicasVisuales es el ángulo que la dirección OP hace con una recta inicial dada, OX, que se puede identificar con el eje x de las coordenadas cartesianas rectangulares. Por supuesto, el punto Coordenadas polares | matematicasVisuales es igual a Coordenadas polares | matematicasVisuales para todo entero n " (Coxeter, p.141)

Usamos las coordenadas polares para describir muchas curvas. Por ejemplo, las espirales. Son convenientes para describir isometrías y semejanzas que tienen un punto invariante. Las podemos usar en trigonometría para definir el seno y el coseno de árgulos obtusos y mayores. Las coordenadas polares también están relacionadas con los números complejos.

Coxeter introduce la espiral equiangular (o espiral logarítmica) como resultado de una rotación delatativa continua (Coxeter, p. 155).

La ecuación polar de una espiral equiangular es:

Espiral equiangular: ecuación polar | matematicasVisuales

Recibe el nombre de equiangular porque el ángulo entre el radio vector y la recta tangente en cualquier punto de la espiral es constante.

Si phi | matematicasVisuales es el ángulo entre el vector posición OP y la tangente en P entonces (en general, en coordenadas polares)

Espiral equiangular: ecuación polar | matematicasVisuales

En el caso de la espiral equiangular, podemos escribir

Espiral equiangular: ecuación polar | matematicasVisuales

Calculando la derivada

Espiral equiangular: derivada | matematicasVisuales

Por lo tanto, la cotangente del ángulo es una constante.

Espiral equiangular: derivada | matematicasVisuales

Es decir que el ángulo entre el vector posición OP y la tangente en P es una constante y podemos escribir la ecuación de la espiral equiangular así:

Espiral equiangular: derivada | matematicasVisuales

Jacobo Bernouilli la llamó "spiral mirabilis".

Espiral equiangular: Podemos ver que el ángulo formado por el radio vector y la tangente es constante | matematicasVisuales
Podemos ver que el ángulo formado por el radio vector y la tangente es constante.
Espiral equiangular: Podemos ver que el ángulo formado por el radio vector y la tangente es constante | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos jugar con un caso particular: la espiral equiangular áurea. Esta espiral está relacionada con el rectángulo áureo.

Espiral equiangular: la espiral equiangular áurea | matematicasVisuales
En esta imagen podemos ver una espiral equiangular áurea.

REFERENCIAS

Coxeter - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 141 y 155).
Steinhaus - Instantáneas matemáticas. Ed. Salvat (pag. 132).
D'Arcy Thompson - Sobre el crecimiento y la forma. Ed. Cambridge.

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