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Euclides, en su libro Los Elementos, define una proporción basada en la división de un segmento en su "razón extrema y media".

La definición de Euclides es:

Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Libro IV, Definición 3)

Actualmente a esta razón la llamamos la sección áurea, la razón áurea o la divina proporción. Usualmente se denota por la letra griega phi, Phi - la razón áurea, la inicial del nombre del escultor Phidias.

La construcción de Euclides del pentágono regular depende de esta razón. Dos diagonales de un pentágono regular que se corten dividen una a la otra en la razón extrema y media.

Usando una tira de papel podemos hacer un nudo y obtener un pentágono y un pentagrama, emblema de la escuela pitagórica. Cada segmento del pentagrama y su siguiente en tamaño están en proporción áurea.

Pentágono y Pentagrama hechos con un nudo | matematicasvisuales
Pentágono y razón áurea| matematicasvisuales

También encontramos la razón áurea en el dodecaedro y el icosaedro.

Un rectángulo se dice que es un rectángulo áureo si tiene sus lados en la proporción áurea. Si cortamos adecuadamente un rectángulo áureo en un cuadrado de lado el ancho del rectángulo y en un rectángulo entonces el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Y podemos seguir este proceso indefinidamente.

Podemos deducir el valor de la proporción áurea.

Similar golden rectangles. Deduction of the golden ratio formula | matematicasvisuales

El rectángulo grande y el pequeño son similares. Podemos escribir la proporción:

Obtenemos una ecuación de segundo grado:

La solución positiva de esta ecuación es la proporción áurea:

REFERENCIAS

Euclides, Los Elementos
Coxeter - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195).

MÁS ENLACES

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
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