Euclides, en su libro Los Elementos, define una proporción basada en la división de un segmento en su "razón extrema y media".
La definición de Euclides es:
Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor.
(Libro IV, Definición 3)
Actualmente a esta razón la llamamos la sección áurea, la razón áurea o la divina proporción. Usualmente se denota por
la letra griega phi, 
, la inicial del nombre del escultor Phidias.
La construcción de Euclides del pentágono regular depende de esta razón. Dos diagonales de un pentágono regular que se corten dividen una a la otra
en la razón extrema y media.
Usando una tira de papel podemos hacer un nudo y obtener un pentágono y un pentagrama, emblema de la escuela pitagórica. Cada segmento del pentagrama
y su siguiente en tamaño están en proporción áurea.
También encontramos la razón áurea en el
dodecaedro y el icosaedro.
Un rectángulo se dice que es un rectángulo áureo si tiene sus lados en la proporción áurea. Si cortamos adecuadamente un rectángulo áureo
en un cuadrado de lado el ancho del rectángulo y en un rectángulo entonces el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo.
Y podemos seguir este proceso indefinidamente.
Podemos deducir el valor de la proporción áurea.
El rectángulo grande y el pequeño son similares. Podemos escribir la proporción:
Obtenemos una ecuación de segundo grado:
La solución positiva de esta ecuación es la proporción áurea:
MÁS ENLACES
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
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