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El papel que usamos normalmente tiene un tamaño estándar. En muchos países del mundo (pero no en Estados Unidos, Canadá o Méjico) la estandarización del tamaño del papel se basa en ISO 216 y llamamos a estos tamaños DIN A0, DIN A1, DIN A2, DIN A3, DIN A4, etc.

La base del estándar, DIN A0 se define como el rectángulo de un metro cuadrado de superficie. Sucesivos tamaños de papel en la serie A1, A2, A2, A4, etc., se definen dividiendo por la mitad el tamaño anterior por el largo. El objetivo es que estas mitades tengan otra vez la misma proporción. Es decir, todos estos rectángulos son semejantes.

Vamos a calcular esta proporción, es decir, el cociente entre el largo y al ancho:

Din A proporción sqrt(2) | matematicasvisuales

Puesto que los rectángulos son semejantes, esta proporción verifica:

Por lo tanto:

O también:

El lado largo es igual a la diagonal del cuadrado cuyo lado es el lado corto del rectángulo:

Din A: el largo es sqrt(2).el lado corto | matematicasvisuales

El tamaño DIN A0 tiene un metro cuadrado. Podemos calcular sus dimensiones (redondeadas a los milímetros))

En una fotocopiadora, cuando queremos reducir de A3 a A4 se nos muestra una proporción del 71%. ¿Por qué?

Reduciendo DIN A3 a DIN A4. Por qué 71% | matematicasvisuales

He usado esta proporción en la animación sobre la suma de la serie geométrica de razón 1/2.

Las puertas de este mueble están en la misma proporción. Ha sido diseñado y hecho por Roberto Cardil usando madera de pino y roble. Podemos ver otro mueble con una espiral áurea.

Mueble con las puertas en proporción  DIN A (raíz cuadrada de 2) | matematicasvisuales

La proporción DIN A es diferente de la proporción áurea.

Vamos a estudiar algunas características de este rectángulo.

Recordamos que la diagonal de un cuadrado de lado 1 es:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Encontramos nuestro rectángulo como una sección de un cubo:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Una diagonal del rectángulo:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales
Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Podemos calcular D como una aplicación básica del teorema de Pitágoras:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Si consideramos las dos diagonales de esta sección, el punto de intersección es el centro del cubo:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Ahora vamos a estudiar los ángulos entre las dos diagonales (para esto necesitaremos unos conocimientos básicos de trigonometría):

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

El ángulo C se calcula fácilmente:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

También:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Nos volveremos a encontrar con estos ángulos cuando estudiemos el cubo achaflanado y el dodecaedro rómbico porque nuestro rectángulo está relacionado con estos poliedros.

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Una visión geométrica de las propiedades de este rectángulo nos facilita otro modo de calcular el ángulo A:

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

¿Cómo lo podemos explicar?

Primero, los segmemtos PR y QT son perpendiculares porque si rotamos 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj el rectángulo ....

Proporción DIN A: trigonometria, ángulos | matematicasvisuales

Segundo, las rectas PR y QT son dos medianas del triángulo QRS, entonces el baricentro divide ...

Ahora podemos escribir cos A ...

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